立足函數(shù)觀點(diǎn)觀察數(shù)列問(wèn)題
——例談?dòng)煤瘮?shù)圖像性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題

●

(天臺(tái)中學(xué) 浙江天臺(tái) 317200 )

立足函數(shù)觀點(diǎn)觀察數(shù)列問(wèn)題
——例談?dòng)煤瘮?shù)圖像性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題

●陳瑩

(天臺(tái)中學(xué) 浙江天臺(tái) 317200 )

數(shù)列內(nèi)容在高考中占據(jù)著非常重要的位置，它對(duì)應(yīng)的試題難度通常在中檔或中檔以上,尤其在近幾年高考卷中，出現(xiàn)了許多與函數(shù)緊密相關(guān)的數(shù)列問(wèn)題.這些問(wèn)題是基于函數(shù)觀點(diǎn)、使用函數(shù)思想指導(dǎo)解題的題型,因此，對(duì)用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問(wèn)題的研究有十分重要的意義．

函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種基本的也是主要的數(shù)學(xué)思想，它應(yīng)用廣泛，但有時(shí)應(yīng)用起來(lái)比較困難；它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù)，是一類(lèi)特殊的函數(shù)，因此，許多數(shù)列問(wèn)題可以用函數(shù)思想、觀點(diǎn)和性質(zhì)來(lái)解決.可是人們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)總要遺忘、遠(yuǎn)離甚至割裂函數(shù)知識(shí)，因此在教學(xué)中加強(qiáng)這一方面的引導(dǎo)是十分必要的．

函數(shù)內(nèi)容的主要構(gòu)成是概念、性質(zhì)(定義域、值域及最值、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性)和圖像.本文正是基于這樣的觀點(diǎn),以例題形式談?wù)撊绾谓鉀Q數(shù)列問(wèn)題．

1 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題

很多數(shù)列綜合題的解決要緊密聯(lián)系函數(shù)內(nèi)容，即要經(jīng)過(guò)聯(lián)想函數(shù)、創(chuàng)建函數(shù)(模型)、運(yùn)用函數(shù)(有關(guān)性質(zhì))、解決數(shù)列問(wèn)題等幾個(gè)階段.請(qǐng)看下面幾個(gè)例子．

( )

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

解f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=

2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cosa1+cosa2+

cosa3+cosa4+cosa5)=

方法1構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

把a(bǔ)3看成自變量x，構(gòu)造出函數(shù)g(x),令

評(píng)注本題比較綜合，是2012年四川省數(shù)學(xué)高考選擇題的壓軸題．上面的解法是本文主題的寫(xiě)真，即站在函數(shù)觀點(diǎn)的這個(gè)高平臺(tái)上看，數(shù)列問(wèn)題的癥結(jié)十分清楚，方法得勝出自然．基本程序是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)

研究其單調(diào)性，通過(guò)觀察找到函數(shù)的零點(diǎn)，求出a3的值．這種構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)，是解決一些數(shù)列綜合題的常用方法，但難點(diǎn)是如何發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建函數(shù)模型．

方法2構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.

由f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,得

f(a1)-π+f(a2)-π+…+f(a5)-π=0,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-cosx-π.因?yàn)?/p>

g(a1)+g(a2)+…+g(a5)=0，

一定有

即

評(píng)注這里特別強(qiáng)調(diào)的是:在上面有一個(gè)“一定有”的推理過(guò)程，這個(gè)過(guò)程不夠嚴(yán)格，缺乏依據(jù)，跨越太大，作為學(xué)生可以用直覺(jué)思維判斷出來(lái)．作為本文，要證明這樣的結(jié)論，可以考慮證明一個(gè)更特殊的命題．

例2已知單調(diào)的奇函數(shù)y=f(x)，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為k的等差數(shù)列{an}，若滿(mǎn)足f(a1)+f(a2)+…+f(ak)=0，則一定有a1+a2+…+ak=0．

證明(反證法)不妨設(shè)y=f(x)是單調(diào)遞增的奇函數(shù),若a1+ak≠0，不妨設(shè)a1+ak>0，即a1>-ak，一定有

f(a1)>f(-ak)=-f(ak)，

即

f(a1)+f(ak)>0；

再由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，有a2+ak-1>0，同理可得

f(a2)+f(ak-1)>0；

依次類(lèi)推有

f(a3)+f(ak-2)>0，…，f(ak-1)+f(a2)>0，

f(ak)+f(a1)>0.

把上面的不等式全部同向相加，得

f(a1)+f(a2)+…+f(ak)>0，

與條件矛盾．因此一定有a1+a2+…+ak=0．

以上2種方法都是運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)圓滿(mǎn)解決了問(wèn)題.本題中通過(guò)化簡(jiǎn)(條件)、凸現(xiàn)(函數(shù)模型)是解決問(wèn)題的第1步，構(gòu)造函數(shù)是解決問(wèn)題的第2步，也是實(shí)質(zhì)性跨越的一步，難度較大，是學(xué)生難以想到的.在教學(xué)中，要重視思想方法的落實(shí)，促使學(xué)生養(yǎng)成這種技能．

2 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)的2條主線，圖形起到直觀作用，可以啟發(fā)我們的思維，引出解決問(wèn)題的辦法.要用函數(shù)，總是離不開(kāi)圖像,因此，在函數(shù)觀點(diǎn)下解決數(shù)列綜合題時(shí)，就要經(jīng)過(guò)聯(lián)想函數(shù)、創(chuàng)建函數(shù)(模型)、呈現(xiàn)函數(shù)(圖像)、解決數(shù)列問(wèn)題等過(guò)程．

圖1 圖2

例4已知an是等差數(shù)列(公差d≠0)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比q>1.若a2=b2=2,a4=b4．

(1)比較a1與b1，a5與b5的大小；

(2)猜想并證明an與bn(n≥5)的大小．

分析數(shù)列是定義在正整數(shù)集合或它的有限子集{1,2,3,4，…，n}上的特殊函數(shù)，它是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)涵著函數(shù)的本質(zhì)及固有特征．函數(shù)圖像是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn)，利用圖像解決數(shù)學(xué)問(wèn)題(以形助數(shù))是解決問(wèn)題中經(jīng)常采用的手段．由題意可知an=2+(n-2)d=dn+2-2d，bn=2qn-2,根據(jù)函數(shù)y=2qx-2(q>1)與y=dx+2-2d的圖像可知,在x=2和x=4處有2個(gè)公共點(diǎn)，則a1

評(píng)注高考中數(shù)列題一般都是壓軸題，它與不等式、函數(shù)、幾何等綜合在一起．因此函數(shù)圖像是分析數(shù)列中知識(shí)常用的工具，有時(shí)可為解決問(wèn)題拓寬思路．

3 例談幾個(gè)誤區(qū)

在教學(xué)中，我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)：從函數(shù)的觀點(diǎn)，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，常用函數(shù)的性質(zhì)去分析.當(dāng)然如果能將數(shù)列與函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這對(duì)解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題有很大幫助，能使解題思路更清晰,思維方式更靈活.但數(shù)列畢竟有自己的特殊性，與函數(shù)有一定的區(qū)別，如果不去關(guān)注就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤．

3．1 忽視數(shù)列具有離散型的特征，一味用函數(shù)的單調(diào)性解決

例5已知函數(shù)

若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=f(n)(n∈N*)，且{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

錯(cuò)解1已知數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，由

評(píng)注本題中錯(cuò)解原因是把函數(shù)的單調(diào)性等同數(shù)列的增減性，忽視了數(shù)列的離散性特征．?dāng)?shù)列相對(duì)函數(shù)有自己的特殊性，如果只考慮它是特殊的函數(shù)，一味只用函數(shù)的增減性來(lái)判斷和證明就會(huì)出錯(cuò)，數(shù)列的圖像是由孤立的點(diǎn)組成的，數(shù)列遞減而對(duì)應(yīng)的函數(shù)未必單調(diào)．在解題中如果牢記這一點(diǎn)，就能減少相關(guān)題型的錯(cuò)誤．

3.2 忽視數(shù)列的定義域

例6數(shù)列{an}中，an=-2n2+29n+3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是

( )

(2013年浙江省杭州市高考模擬數(shù)學(xué)試題)

分析結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得

從而當(dāng)n=7時(shí),an=108為最大值．

評(píng)注本題如果不注意數(shù)列的定義域是正整數(shù)集這一特征，而用二次函數(shù)的定義域解題就會(huì)出錯(cuò)．

數(shù)列問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一大難點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)．通過(guò)構(gòu)造函數(shù)及利用函數(shù)性質(zhì)解題，讓我們的解題思路更加開(kāi)闊.學(xué)生的認(rèn)知水平有限,但只要在教學(xué)中思想重視，采用一定的方法，注重引導(dǎo)，一定會(huì)取得很好的效果．

[1] 褚人統(tǒng)．?dāng)?shù)形結(jié)合對(duì)解函數(shù)綜合題的作用分析[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育:教師版，2013(1/2)：91-94．

[2] 黃云潔．用函數(shù)觀點(diǎn)解數(shù)列題錯(cuò)解例析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(12)：32-33.

[3] 陳云烽．例說(shuō)數(shù)列不等式的證明與探索(續(xù))[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(12)：25-27.