對一道課本例題的深入挖掘

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(金陵中學 江蘇南京 210005)

對一道課本例題的深入挖掘

●嚴飛

(金陵中學 江蘇南京 210005)

教材是學生獲得系統知識的主要來源，它在教學中起著不可替代的作用.筆者認為在教學中指導學生對教材中的典型例題進行深入研究、引申推廣，能起到事半功倍的效果：能充分調動學生的積極性與創造性，充分發揮學生的主體作用，引導學生進行探究性學習，并且有利于培養學生的靈活性與變通性，提高學生的思維品質，培養學生的創新意識與實踐能力.

圖1

在蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數學·必修4》“2.2.3向量的數乘”這一節中，課本定義了向量的數乘并給出了向量共線定理，此后安排了一個例題：

這道例題雖簡單，內容卻很豐富，學生也容易證明.但作為教師對這道題的認識不能僅僅停留在這個層面上，通過對這道例題的深入研究可以培養學生的發散思維能力，能讓學生熟練掌握處理有關向量共線問題方法與技巧.

對本例有以下的思考：

還可以得到以下的推論：

推論1和推論2揭示了平面上3個點共線的充要條件；推論3則溝通了向量共線定理與定比分點知識的聯系.其中推論2還可以推廣到空間：

推論4對空間任一點O和不共線的3個點A,B,C，點P與點A,B,C共面的充要條件是：存在實數x,y,滿足

以上結論在解題中有著廣泛的應用.

解法1由已知，得

設C(x，y)，則

因為α+β=1，所以

消去β，得點C的軌跡方程為

x+2y-5=0.

或由式(1)，得

代入α+β=1即得.

x+2y-5=0.

點評本題考查意圖是解法2，但大多學生用的是解法1，這說明教材中傳統的內容和方法在學生的頭腦中還是根深蒂固的.教師不能僅習慣于用傳統的思維方式去引導學生，這是問題的一個方面；另一方面，教師要對教材的例題進行更深入的鉆研.

圖2

解由點O，C，D共線，知

點評本題有一定的思考難度，充分利用題目中3個點共線的條件并結合推論2可以化難為易.

對教材的深入研究是增加內功的重要途徑，題目千變萬化，解題的過程就是知識組合的過程，但是很多題目都可以在教材中找到原型.只有深入地思考才能有所得，正是鑒于對教材的深入發掘，筆者得到了本文推出的一系列推論,也領悟到一個道理：不思則無，深思則遠，遠思則寬.學生的學習是如此，同樣教師的教學也是如此.只有善于思考，我們的認識才能上升到理性的高度，才能觸及事物的本質.

總之，認真鉆研教材,真正用好課本中已經提供的素材，通過各種不同的處理方法,有的放矢地組織教學,將是一個值得關注和潛心研究的課題.

[1] 單墫．普通高中課程標準實驗教科書(數學·必修4)[M]．江蘇：江蘇教育出版社，2012：68-71．

[2] 張定強，趙宏淵，楊紅．高中生數學反思能力培養的基本模式與實踐探索[J]．數學教育學報，2008，17⑴：38-42．