判別式為何失效了
——關(guān)于圓與圓錐曲線相切的問題

2013-10-26 01:44:34

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年9期

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(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310015)

●朱微

(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310015)

1 起：看似巧妙，卻得到了錯解

近日，筆者在課堂上給學(xué)生出了2道題．

|PN|2=x2+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18，

其中-b≤y≤b．

當(dāng)0

b2+6b+9=50，

當(dāng)b≥3時，|PN|2有最大值2b2+18．從而

2b2+18=50，

解得b=4．

(1)

得y2+6y+41-2b2=0,

(2)

從而

Δ=8(b2-16)=0，

解法1利用含參數(shù)的二次函數(shù)在固定區(qū)間上求最值的方法，需要分類討論，計算繁瑣．解法2靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，計算簡潔，受到了學(xué)生的歡迎．但是，在例2中，解法2卻受到了質(zhì)疑．

解(數(shù)形結(jié)合法)由題意,聯(lián)立方程組

(3)

消去y得 5x2-18ax+9(a2+3)=0,

(4)

從而Δ=36(4a2-15)=0,

(5)

解得

如果把結(jié)果代回檢驗，會發(fā)現(xiàn)這是個錯解．這道題的正解應(yīng)為a=2或a=4．為什么對例1適用的好方法，在例2中卻是錯解呢？究竟是方法的錯誤還是我們用錯了方法呢？

2 承：仔細(xì)思考，原來變形并非等價

想到這里，筆者不禁對以前用代數(shù)法判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系產(chǎn)生了懷疑．不妨以橢圓與直線為例,聯(lián)立方程組

得

2種消元變形中，x和y的取值范圍都被保留著，因此無需單獨(dú)說明．

3 轉(zhuǎn)：追根溯源，究竟何為相切

圓錐曲線又稱二次曲線．從代數(shù)的角度來看，2條圓錐曲線以及圓錐曲線與直線的交點(diǎn)問題，都是通過聯(lián)立方程，消元得到一個關(guān)于x(或y)的二次方程，當(dāng)Δx(或Δy)=0，二次方程有2個相同的實數(shù)根時，2條曲線有二重交點(diǎn)(即切點(diǎn))．

消去y得 55x2-128ax+(64a2+17)=0,

從而

Δ=4·(64·9a2-55·17)=0,

解得

圖1圖2圖3圖4

狀態(tài)3當(dāng)圓M沿x軸繼續(xù)向右平移時，2條曲線相交．由Δ>0得到2個解，再根據(jù)對稱性，得到4個交點(diǎn)A,A′,B,B′(如圖3)．

狀態(tài)4圓M繼續(xù)右移，2個交點(diǎn)B,B′越來越接近，最后重合，成為了一個切點(diǎn)．交點(diǎn)A,A′還存在．此時，圓M部分在橢圓C內(nèi)，部分在橢圓C外(如圖4)．

狀態(tài)5，6圓M繼續(xù)右移點(diǎn)B附近，2條曲線相交(如圖5)；交點(diǎn)A,A′越來越接近，最后重合，再次成為切點(diǎn)，此時圓M外切于橢圓(如圖6)．

圖5 圖6 圖7

狀態(tài)72條曲線外離，無公共點(diǎn)(如圖7)．

圖8

再看例2的過程圖(如圖8)，它經(jīng)歷了內(nèi)含、內(nèi)切(1個切點(diǎn))、相交(2個關(guān)于x軸對稱的交點(diǎn))、外切(1個切點(diǎn))、外離5個狀態(tài)．觀察圖像易知，關(guān)于x的二次方程(4)不可能存在二重根，只有內(nèi)切和外切2種狀態(tài)符合題意．

4 合：圓錐曲線若相切，數(shù)形結(jié)合不容易

經(jīng)過上述分析我們發(fā)現(xiàn)，圓與圓錐曲線相切(包括圓錐曲線之間)是個復(fù)雜的問題，切點(diǎn)可能是關(guān)于x的二重根，也可能是關(guān)于y的二重根．而2條曲線方程聯(lián)立時，為方便起見，一般得到的是關(guān)于x或y的二次方程．因此，只用Δ還不夠，還要結(jié)合過程圖來分析．這部分內(nèi)容教材沒有出現(xiàn)，教師在給學(xué)生講解時要慎重．如果學(xué)生用了該方法，也要提醒學(xué)生多畫圖，多檢驗．

最后，讓我們在來做個鞏固練習(xí)．