一道不等式恒成立高考題的錯解分析

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(陜西師范大學數學與信息科學學院 陜西西安 710062)

一道不等式恒成立高考題的錯解分析

●羅增儒

(陜西師范大學數學與信息科學學院 陜西西安 710062)

2012年浙江省數學高考理科第17題如下：

例1設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，則a=______．

這道試題出來后，立即以其形式的簡單性、內容的新穎性、思維的靈活性與廣闊性等特征引起關注，本刊曾連續發表文章加以研討(見文獻[1]～[4])，也有作者多次撰文連續研討(見文獻[5]～[6]).從見于各刊的部分文章(見文獻[1]～[13])分析顯示：作者對本例作為數學題的關注多于作為考試題的關注，對本例正面求解的關注多于糾錯訂正的關注．從對高中數學教師和高三學生的測試表明：

(1)難度系數很低．這道4分題在10分鐘時間內的通過率不到0．2，屬于考試中的低效題(可能與東西部的教育差異有關)．另有文獻[2]認為：這是學生熟悉的“恒成立”命題，但成功解題的人卻不多.文獻[13]認為：大部分學生感覺有困難．

(2)糾錯力度不足．對于學生中的錯解，不少教師看不透，歸因不當或者逃避歸因——直接給出正確解答了事(見文獻[7]等)．

鑒于此，筆者將本例作為解答題來研討，并重在糾錯，涉及3個方面的認識：

(1)在本例的處理中存在哪些主要的錯解？(本文提到4個錯解.)

(2)這些解法錯在哪一步、錯誤的性質是什么？(主要有3類：知識性錯誤、邏輯性錯誤、心理性錯誤.)

(3)如何對錯解直接訂正？

至于本例的眾多解法(有10余種：代數解法、幾何解法、取特殊值解法等)，限于本文的主題，不再贅述．

1 錯解的呈現

1.1 錯解1的呈現

由兩式的乘積非負，則兩式同時非正或同時非負，可將已知不等式等價于以下2種情況：

x2-x-2≤0,

即(x-2)(x+1)≤0對x>0恒成立．這是不可能的(取x=3，例1無解)．

x2-x-2≥0，

即(x-2)(x+1)≥0對x>0恒成立．這是不可能的(取x=1，例1無解)．

綜合2種情況，例1無解(或是一道錯題)．

說明這是學生中的一種常見思路，文獻[1]，[2]，[5]～[8]，[12]都有所提及，如：

(1)文獻[1]列出2種情況后，認為：受到經驗的影響，很多學生認為本題可能是錯題或者解不出．

(2)文獻[6]以師生討論的形式展現學生思路，認為：這不是解不等式，這是一個在x>0時的恒成立問題，學生1沒有注意x>0而誤認為是錯題．文獻[12]也認為：學生把f(x)g(x)≥0恒成立與解不等式f(x)g(x)≥0混淆了．(讀者可能會疑惑：難道例1不是不等式問題？)

該文獻認為：錯誤的原因是由于受到解題經驗的影響，將不等式化為了恒不等式.(讀者可能留下“2種情況導致解不出本題”的印象，分不清“解題經驗”到底是積極的還是消極的.)

1.2 錯解2的呈現

對a-1分2種情況討論:

(1)當a-1≤0時，由x>0知

(a-1)x-1<0,

結合已知可得

x2-ax-1≤0,

從而

即

解得

0

解得

(2)當a-1>0時，由已知可得

即

從而

2a2-3a=0.

1.3 錯解3的呈現

由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，特別地，取兩式同時為0，得

從而

說明對于學生的這一思路，文獻[2]，[4]有類似的處理：

2 錯解的辨析

2.1 對錯解1的辨析

2.1.1 錯解1是“會而不對”

即分2種情況討論確有合理成分(下面有合理性的說明)，但它的“等價性”依據比較隱晦，所得出的“無解”結論是錯誤的，叫做“會而不對”．

2.1.2 錯解1的錯誤內容(主要有3點)

錯誤1等價性的依據是含糊的，即由“兩式的乘積非負，則兩式同時非正或同時非負”推出“2種情況”，有一種令人“半信半疑”的含糊．還有“日常語言”與“數學語言”的歧義．因為在情況(1)中，當(a-1)x-1≤0時不能由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0推出x2-ax-1≤0，僅當(a-1)x-1<0時，才能由已知推出x2-ax-1≤0；同樣，在情況(2)中，僅當(a-1)x-1>0時，才能由已知推出x2-ax-1≥0．而當(a-1)x-1=0時，x2-ax-1可以小于0、等于0、大于0．請看一個例子：

從而

故

x≥2.

這說明“兩式的乘積非負，則兩式同時非正或同時非負”可能會由于含糊而產生歧義．

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

可以保持不重不漏．其幾何直觀如圖1和圖2所示(圖2中a記為y，參見解法4和解法5)．

圖1 圖2

因此，我們說分2種情況討論確有合理成分，其合理性可用集合語言更準確地表示為：

{x|f(x)g(x)≥0}=

這時，例2可合理求解：

{x|x≥2}∪{x|x=-1}．

錯誤2構成矛盾無效．其實，錯解1分2種情況討論的同時，也對x∈(0,+∞)分成了2種情況(見圖2的陰影部分)．對于第(1)種情況，有

即

從而

0

對于第(2)種情況，有

即

從而

x≥2.

因此，2種情況下構成矛盾都是盲目的、無效的．

換句話說，以下等價關系為真命題：

而下面的等價關系為假命題：

這就是學生錯誤的真正原因，也是許多文章沒有正面點明(或有所逃避)的要害之處．

錯誤3心理沿襲和監控缺失．在分2種情況討論的同時，也把x∈(0,+∞)分成x∈(0,2]與x∈[2,+∞)這2種情況，這在錯解1中已有明顯的暴露：

但是錯解1對此視而不見，2種情況下都依然沿襲x可取(0,+∞)，并由此出發去構成矛盾，這除有知識盲點、邏輯盲點外，還有視而不見的心理沿襲和反思監控的思維缺失．

另外，對于方程和不等式，“問題無解”并不等同于“錯題”(可記為錯誤4)．

2.1.3 錯解1的錯誤性質

由上面的分析可見，錯解1既有知識性錯誤，又有邏輯性錯誤，還有心理性錯誤，但主要是邏輯性錯誤．不去糾正錯誤是“誤人子弟”，不從邏輯關系上去糾正錯誤是“隔靴搔癢”．

2.1.4 錯解1的直接訂正

正解1(代數法)由等價關系

{x|f(x)g(x)≥0}=

可以把已知不等式變為以下2種情況：

兩式相加消去a，得

從而

0

得

兩式相加消去a，得

從而

x≥2.

得

說明這樣處理表明錯解1可以完善，不應回避，但原理比較隱晦，書寫比較曲折，其簡化處理可為：

正解2(代數法)更換主元，將已知式看成關于a的不等式，對x>0有

(1)當0

得

(2)當x≥2時，解關于a的不等式(1)，得

得

說明正解2顯然比正解1原理較為顯淺，討論更為自然，書寫更簡潔，但內容實質卻是一樣的：

正解2的幾何意義見圖1和圖2，及解法4和解法5．

2.2 對錯解2的辨析

2.2.1 錯解2是“對而不全”

2.2.2 錯解2的錯誤內容

主要針對a-1≤0的情況說明3點:

2.2.3 錯解2的錯誤性質

由上面的分析可見，錯誤1是知識性錯誤,錯誤2是邏輯性錯誤，錯誤3是心理性錯誤．

2.2.4 錯解2的直接訂正

正解3(代數法)分2種情況討論．

(1)當a-1≤0時，有2a-3≠0，取x=2>0，得

[(a-1)x-1](x2-ax-1)=-(2a-3)3<0，

這說明不大于1的a不滿足條件，此時無解．

說明這樣處理是對錯解2的完善，它的幾何解釋如下．當a>1時，三次函數

有“一負兩正”3個零點(如圖3)，要使x>0時f(x)≥0恒成立，當且僅當2個正根重合為切點(如圖4)．

圖3 圖4

2.3 2個錯解的對比分析

學生的2個錯解:一個“會而不對”;一個“對而不全”,都已討論清楚，現在把2種錯解及其訂正都回顧一下，大家可以看到這樣的對比：

表1 錯解1和錯解2的比較

圖5 圖6

2.4 對錯解3的辨析

2.4.1 錯解3是“對而不全”

2.4.2 錯解3的錯誤內容

問題1“特別地”使人感到好像是一個必要條件過程，如果是必要條件，那就還缺少充分性的驗證．

問題2設y1=(a-1)x-1,y2=x2-ax-1．則y1y2≥0可以分解為7種情況(參見圖2中的陰影部分)：

“取兩式同時為0”只是其中一種情況，從這一意義上說，“特別地”又像是一個充分條件．而充分條件則存在減根的危險．

當然，如果有唯一性作保證，那么，“特別地”取兩式同時為0是可以的，問題是，由題目求“a=______”能否斷定a是唯一確定的值呢？我們說不能，a也可以取不只一個值．比如

2.4.3 錯解3的錯誤性質

由上面的分析可見，2個錯誤內容都屬于邏輯性錯誤．

2.4.4 錯解3的直接訂正

正解4(數形結合)如圖1，作出函數y=(a-1)x-1(直線)和y=x2-ax-1(拋物線)的圖像，可知

(1)2個函數圖像都過定點(0,-1).

(2)在x>0的右半平面上，繞定點(0,-1)旋轉直線y=(a-1)x-1可以看到，2個函數圖像或者同時不在x軸下方、或者同時不在x軸上方，滿足條件的圖形只能是：2個函數圖像的另一交點在x軸上．即[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0對x>0恒成立的的充要條件是

從而

說明這里有一個雙流向的“數形結合”，首先是“式子—函數—圖像”一步步“由數到形”，等把圖形看清楚了、想明白了，再“圖形特征—函數性質—方程求解”一步步“由形到數”，是雙流向的“數形結合”．這個解法的成功基于圖像特征的洞察，關鍵是發現：2個函數圖像或者同時不在x軸上方、或者同時不在x軸下方，從而三線共點．

的區域為圖2中的陰影部分，當且僅當水平直線通過2個圖像的交點時(三線共點)，整條射線(x>0)均落在陰影區域上．即[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0對x>0恒成立的充要條件是

從而

說明這里的雙流向“數形結合”與正解4略有區別，首先是“式子—曲線—區域”一步步“由數到形”，然后是“圖形特征—區域性質—方程求解”一步步“由形到數”．如果說正解4的圖像需要作較多動態理解的話，那么，正解5的區域是較為靜態的．

以上個人看法，盼同行們批評指正，最后，留一道練習題供自我檢驗．

練習題請分析本例的下述解法是否正確？如有錯誤，錯在哪里？錯誤的性質是什么？如何訂正？

解由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，得

x2a2-x2(x+1)a+(x+1)2(x-1)≤0.

令f(a)=x2a2-x2(x+1)a+(x+1)2(x-1),因為當x>0時,x2>0，所以關于a的一元二次函數開口向上.要使在參數x>0的情況下均有f(a)≤0，只能是f(a)=0，因此判別式Δ=0，即

x2(x+1)2(x-2)2=0.

[1] 陸立峰．四法并舉 彰顯活力[J]．中學教研(數學),2012(8)：39-41.

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