淺談中考數學復習課的選題策略

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(豐北中學 浙江余姚 315400)

●陳立彬

(天臺縣教育局教研室 浙江天臺 317200)

淺談中考數學復習課的選題策略

●陳永浩

(豐北中學 浙江余姚 315400)

●陳立彬

(天臺縣教育局教研室 浙江天臺 317200)

縱觀近幾年全國各地的中考試卷，多數能面向全體、注重基礎、著眼未來，有利于引導正確的、積極的教與學；有利于學生掌握必要的數學基礎知識、基本技能和基本思想方法；有利于面向全體學生以成功者的心態走向后續的學習和生活；有利于高中教育的普及與學生的可持續發展；能以知識技能應用為載體，以學生日常數學學習中的任務再現為背景，讓學生重新經歷數學學習的過程，重現過程性目標和結果性目標評價功能的融合、基礎性目標和發展性目標評價功能的有機結合.中考卷是以“面向全體、注重基礎、著眼未來”為原則，突出對學生基本數學素養的評價，注重學生在學習數學和應用數學解決問題過程中最為重要的、必須掌握的核心觀念、思想方法、基本知識、基本活動能力和常用技能的考查，重視數學理性精神和繼續學習能力的考核，注重過程評價，力求“為激勵正確的、積極的教與學而考，為矯正教與學中存在的問題而考，為促進學生的可持續發展而考……”[1]．

充分了解中考試題的特點，能較好地引導我們的復習工作，明確方向，把握重點、難點，提高復習效益.在平時的課堂教學中，教師應該合理地選取例題，尤其是應結合不同的教學要求，精心選取例題，讓所有的教學行為緊緊圍繞相應的教學目標(知識目標、思想方法目標、能力目標等)，從而提高課堂教學的針對性和有效性，使教學效益達到最大化.下面從如何精選例題的角度談談中考復習課的選題策略，其中所舉例題皆屬筆者原創題，以期對同行有一定的參考價值.

1 以基礎知識為核心，精選例題

“基礎知識是學生學習的主要內容，學生需要掌握的數學學科知識”在《課程標準》中有非常明確的規定，同時從學生長遠發展的角度看，教師還需關注數學學科以外的知識，真正完成數學學科所承擔的教學任務和教育功能.

1.1 數學學科知識

數學學科知識是學生應掌握的基礎知識.在課堂教學中，教師應講清數學概念的本質,讓學生充分地明白數學知識形成的過程是自然的；在數學概念的學習過程中，不僅要搞清楚是什么，更要搞清楚為什么，它的科學性、合理性、優越性在哪兒等等.

圖1

例1對于2個平面圖形甲和乙，點M,N分別是圖形甲和乙上的任意一點，我們將線段MN長度的最大值定義為圖形甲與乙的“通距”．如圖1所示，⊙O1與⊙O2的“通距”應定義為

( )

A.線段BC的長度 B.線段O1O2的長度 C.線段O1C的長度

D.線段AD的長度

評析此題是學生由已學知識通過類比、遷移，自我構建新概念的過程，引導學生關注數學本質，明白數學是自然的、合理的.

1.2 社會生活常識

數學來源于生活實踐，而又服務于生活實踐，因此數學是有用的、有趣的.生活中的許多問題本身就是數學問題,它是編制數學試題的廣闊題材.因此在課堂教學的例題中，應充分關注數學在生活實踐中應用，提高學生的學習興趣和學習積極性.

例2表1是小明的中國建設銀行存折的一部分，則其中數字a是

( )

A.1 501.55 B.750.69 C.500.69 D.250.69

評析該題屬生活常識,背景親切(許多學生將自己的壓歲錢存入銀行),主要考查學生對有理數的概念、加減法等知識的掌握以及數學應用能力.

例3《莊子·天下》有一句名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句話的大意是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完，假設莊子于公元前290年時將一根1尺長的木棍截去它的一半長，以后每過一年就截去留下木棍長度的一半，他的子子孫孫繼承遺志能夠不斷地截取下去，直到公元2012年截取后，留下木棍的長度是______尺.

評析本題考查有理數的概念、加減法、乘方等有關知識和數學應用能力，還涉及社會生活常識，即在公元紀年的規定中，公元1年的前一年是公元前1年，沒有公元0年.

2 以思想方法為指導，精選例題

中考對數學思想方法的考查是一貫的宗旨.數學思想方法存在于數學知識的學習和解決問題的過程中，因此在課堂教學所選的例題中，應特別關注滲透數學思想和方法，“順便”地發展、提高學生分析問題和解決問題的能力，養成良好的思維習慣.

中學數學思想主要包括4類,即函數方程思想、數形結合思想、分類討論思想和等價轉化思想.

2.1 函數方程思想

例4已知商店里1瓶可樂(包括可樂汁和可樂瓶)的價格是2元，為了加強環保意識，商店規定廢品必須由商店回收，且2個可樂瓶可以換得一瓶可樂．小明同學有4元錢，請問最多能喝到幾瓶可樂汁？

評析不少學生沒有從方程的角度思考這個問題,他只簡單認為,4元錢首先能購得2瓶可樂,喝了可樂汁后可換回1瓶可樂,喝了這瓶可樂汁后,對于留下的1個可樂瓶不知道該如何處理了.本題考查的是函數方程思想.

2.2 數形結合思想

例5我們知道，二次函數的圖像是拋物線，反比例函數的圖像是雙曲線，善于學習的小亮同學思考，這2種曲線的差異在哪兒呢？通過查閱網上資料得知：①平面內到一個定點的距離與到一條定直線的距離相等的所有點組成的圖形叫拋物線；②平面內到2個定點的距離的差的絕對值等于同一個常數的所有點組成的圖形叫雙曲線.請分別利用拋物線和雙曲線的定義解決以下問題：

評析解析幾何的核心思想是數形結合思想.該類試題可以較好地幫助學生掌握數形結合的解題方法，建立數形結合的解題思想，深刻理解“形”的關系可以通過“數”來刻畫，而“數”的問題又可以借助“形”來體現.

2.3 分類討論思想

例6已知在12個小球中有1個小球是次品(次品與正品的形狀、大小和顏色都相同，只是重量不同)，現給你一架天平秤，要求最多稱3次，找出次品．聰明的小明將這些小球依次標上號碼，第1次將①～④號小球與⑤～⑧號小球相稱，結果如圖2所示，因此他判定次品肯定在①～⑧號小球中；第2次將①、②、⑥號小球與③、④、⑤號小球相稱，結果如圖3所示；要想找到次品，第3次的稱法是將______號小球與______號小球相稱．

圖2 圖3

評析本題主要滲透分類討論的思想,綜合考查學生的思維推理能力.從第2次稱的結果看,首先可以判定⑦、⑧號小球為正品，再從2次稱的輕重結果看，①、②、⑤號小球也是正品，因此最后一次只要將③號小球與④號小球相稱，重者為次品，若重量相同，則⑥號小球為次品，且次品稍輕.其實第1次稱的結果從左端看有2種：若平，則次品在另外4個小球內，利用標準的8個小球再稱2次，很容易可以找到次品；若不平，則可以視作如圖2所示的結果.在接著的第2次稱時,從左端的結果看有3種,分別為重(如圖3所示)、平、輕:(1)若重，即為該題的結果；(2)若平，則次品為⑦號或⑧號小球，第3次只要將⑦號小球與⑧號小球相稱，輕者為次品；(3)若輕，次品在①、②、⑤號小球中，最后一次將①號小球與②號小球相稱:若平，則⑤號小球為次品，若不平，則重者為次品.在解決本題時所蘊含的數學思想方法、數學思維方式等是很值得回味的.

2.4 等價轉化思想

圖4

例7如圖4，正方形OABC的邊長是2，已知點O處是螞蟻的家，在點(1，0),(2，1),(2，2),(0，2)處各有一只螞蟻，它們正以相同的速度沿著正方形的邊往前爬行．每只螞蟻在爬行過程中，如果碰到另外一只螞蟻，則各自掉頭往回爬；如果爬到螞蟻的家就停止爬行．那么這4只螞蟻需要爬行的總路程的最大值是

( )

A.16 B.18 C.20 D.22

評析該題主要考查等價轉化的思想,因為當2只螞蟻各自相遇掉頭往回爬時，從它們爬行的總路程看，等同于2只螞蟻各自繼續往前爬行的路程(甲替乙爬、乙替甲爬)，故只要考慮每只螞蟻爬行的最長路程即可，包含了等價代換的思想.若用分類討論的方法來解決,則比較麻煩[2].

3 以綜合能力為目標，精選例題

對學生綜合能力的考核要求，也是中考的目標之一，其中包含運算能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題能力等等較多的內容.

3.1 基本運算能力

運算能力是學生首先要掌握的基本能力,它是數學學科的重要特征.在例5中，對學生的運算能力提出了較高的要求．

圖5

例8如圖5，小明在比賽的一次投籃中，球的運動路線是拋物線y=ax2+3.35(a是非零常數)的一部分，當球出手的一剎那，球離地面的高度是2.725 m．

(1)求拋物線的解析式.

(2)當時小華正位于小明與籃球架之間，原地向正上方奮力躍起恰好蓋帽成功.已知小華蓋帽時手離地面的高度為3.125 m，求小華起跳時與小明的距離？

評析該題背景熟悉,主要考查拋物線的有關知識,涉及到學生的基本運算能力要求，同時還包含一個基本常識：“蓋帽”——籃球犯規規則，即當籃球在上升過程中封蓋成功為“蓋帽”，而下降時的攔截不能算“蓋帽”，應該算進球有效，因此本題只有一解，即離籃框近的位置是不對的，屬易錯之處.

3.2 合情推理能力

合情推理主要包括歸納推理和類比推理，它是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.通俗地說，合情推理就是“合乎情理”的推理，在數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發現結論、提供證明的思路和方向.因此在人們認識世界的過程中，合情推理扮演著很重要的角色，它是學生在后續學習和研究中創造性思維的基礎和原動力.在高中《數學(選修2-2)》第2章第1節“合情推理與演繹推理”中，學生要系統地學習有關的知識.因此在義務教育階段，培養學生的數學直覺、合情推理能力有十分重要的意義.

圖6

例9在圖6的數表中，第1行是由正整數按從小到大的順序排成的，從第2行起，每一行中的數字均等于其肩上的2個數之和，例如第3行第3個數等于第2行的第3個數與第4個數之和．則第10行第2 009個數是

( )

A.11×28B.2 008×29C.2 019×28D.4 027×28

評析“觀察規律找數”一直是中考的熱點試題.學生要在較短的時間內解決此類問題，靠的是直覺思維，依賴的是合情推理能力.經過嚴密推理而“小題大做”，顯然是得不償失的．

3.3 抽象思維能力

數學是思維的學科,學生的抽象思維能力在較大程度上影響了解決數學問題的能力.

圖7

例10如圖7，r1,r2,r3,r4是正方形ABCD的4條對稱軸．正方形ABCD關于軸r1對稱得到正方形DCBA，我們把這種變換記為r1，同樣把正方形關于軸r2,r3,r4對稱的變換分別記為r2,r3,r4．對正方形先作變換rm，再作變換rn，記為rm·rn．善于探究的小明發現r1·r2與r3·r4的變換結果相同，可記為“r1·r2=r3·r4”，那么請你也寫出一個類似的探究結果：____________．

評析該題取材于“群”的有關知識,以平面圖形的“對稱變換”為載體，著眼于研究“群”中運算的封閉性.試題背景熟悉，考查形式新穎，答案開放，側重于對學生抽象思維能力的考查．

3.4 數學應用能力

隨著時間的推移,學生所掌握的數學知識會慢慢遺忘，但是在學習數學知識的過程中所形成的處理問題的思想、方法、策略以及良好的思維品質、思維習慣是永久的.它將指導人們用數學的眼光來觀察和思考問題，這是數學學科特有的功能.因此,教師必須有意識地培養學生的數學應用能力.

圖8

例11紅、綠交通變色燈的拉線開關是這樣設計的：接上電源即顯示紅色，拉第1次開關時，燈的顏色由紅色變為綠色；拉第2次時，燈的顏色由綠色變紅色，拉第3次開關時；燈的顏色由紅色變綠色，如此循環往復．現對編號為1，2，3，…，100的100盞交通變色燈通上電源，先將編號為2的倍數的燈線拉一下，然后將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，則3次拉完后綠色燈的盞數為

( )

A.39 B.51 C.71 D.74

評析從試題考查的數學知識角度看，該題考查了整數的有關內容；從數學思想角度看,考查了“集合”的思想；從數學素養角度看，考查了分類討論中的“不重不漏”．圖8展示的方法比較簡潔：燈線拉一次就在該燈的編號上畫一個圈(則畫1個圈和3個圈的為綠燈)，顯然在1～30內有15盞，同理31～60和61～90內各有15盞，而91～100內只需數1～10內的，發現有6盞，故共有51盞綠燈.該方法充分表明學好數學能有效地幫助人們自覺或不自覺地運用數學的思想方法、思維習慣和解題策略處理具體問題.

3.5 動手實踐能力

有些數學問題,學生只需要根據題意,有效利用身邊的學習工具(如鉛筆盒、筆和圓規等)或通過動手實踐操作解決.動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式．

圖9

例12如圖9，有3根針(標號分別是1，2，3)和套在1號針上的3張金屬片．按照下列2個規則，把金屬片全部移到3號針上：①每次只能移動一張金屬片；②較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．你認為最少需要移動的次數是

( )

A.3 B.5 C.7 D.9

評析該題是簡單的漢諾塔問題，解決它“心”動不如“行”動.學生數學知識的獲得方式應該是多種多樣的.在《課程標準》中提到，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式,……學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、自主的和富有個性的過程.

3.6 數學學習能力

學生的數學學習能力的形成主要在平時的數學學習上,尤其是數學學習的方式.完整的數學學習應包括學“問”與學“答”，完整的、有效的數學學習過程應該包括:自然、合理地提出數學問題；自然、合理地解決數學問題；自然、合理地拓展數學問題.在數學學習中，及時對知識進行歸納、類比和整理是提高學習效率的有效策略.

例13善于學習的小明在學習解一元一次不等式中，發現它與解一元一次方程有許多相似之處．小明進行了比較，如表2所示：

表2 解一元一次不等式與一元一次方程的比較

從表2可以清楚地看出，解一元一次不等式與解一元一次方程有一定的聯系，它們的解題思路以及解題步驟是一致的.請仔細思考,探究下列問題：

(1)若不等式kx>b的解集是x<1，求方程kx=b的解；

(2)若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kx>b的解集．

評析該題能讓學生領會學習數學的一種策略，盡管每個學生對數學知識的學習和掌握都有自己不同的方式和方法，但有時候是可以相互借鑒的.

3.7 數學應用能力

圖10

在關注核心知識的同時，還需關注近幾年中考的熱點問題，如應用性問題、運動型問題、實驗操作、探索規律、圖形變換、讀圖與識圖、新概念問題等,它綜合體現了學生的數學應用能力.新定義型試題是中考的熱點之一,它可以綜合考查學生的數學應用能力.

例14如圖10，在梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，點E在邊BC上，且CE=DC，BE=AB.

(1)求證:AE⊥DE.

(2)定義：如果某四邊形的一條邊上(除頂點外)有一個點，使得除該邊2個頂點外的另外2個頂點與它的連線互相垂直，我們把滿足這種條件的點叫做該四邊形的“直角拐點”.例如點E在邊BC上，且AE⊥DE，因此點E是梯形ABCD的直角拐點，請探究在邊AD上有沒有梯形ABCD的直角拐點？并說明你的理由.

(3)請判斷在邊CD上有沒有梯形ABCD的直角拐點？并說明你的理由.

評析“直角拐點”是個新定義，對學生而言，只要不存在害怕心理，仔細閱讀理解有關條件，解決它難度不大.若教師在平時的課堂教學中能有意識地滲透此類問題，則可以有效地提高學生分析問題和解決問題的能力.

在中考的系統復習中，教師應多鉆研中考試題的特點，根據不同的知識、能力和思想方法的要求，精選例題．在復習課的選題中應充分關注一些適度開放和探索的問題，較多地滲透新背景的試題，使學生自己能給出對問題的理解、解答，解題后加強反思，總結經驗，通過提高思維能力、增強解題直覺，從而提高對綜合題的適應能力和突破能力，提高學生的解決新穎試題的適應能力,提高學生的數學素養．平時的教學要重在能力的培養上，以不變應萬變，靠“題海戰術”、“見多識廣”、“猜題押寶”制勝的做法是行不通的！

[1] 李昌官.用積極的考試引導積極的教學——2007年臺州市初中生學業考試數學命題之實踐與探索[J].中學數學教學參考:初中版,2007(8)：39-43.

[2] 王桂華,陳立彬.淺談改編初中數學試題的簡單方法[J].中國數學教育：初中版,2007(9)：33-35.