一個背景 多種題型
——一類關于等腰三角形個數問題的解決途徑

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(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

一個背景多種題型
——一類關于等腰三角形個數問題的解決途徑

●周宗格

(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

已知平面上的2個點，在平面上找出符合某些條件的另一個點，使這3個點構成等腰三角形，這樣的點的個數或相關問題是中考數學的常見題型.這類試題的知識覆蓋面廣，綜合性較強，有些題意構思非常精巧，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高.學生在求解這類問題時，往往會出現漏解、錯解.為了幫助學生掌握這一題型的特征和解法，本文篩選了幾例近年的中考試題(或其變式題)，對其類型與解法予以剖析，供參考.

1 背景問題

已知平面上給定的2個點A,B，在平面上取一點P使△PAB為等腰三角形.

根據等腰三角形的概念及性質，結合分類討論思想，容易得到如下結論：

(1)如果AB為底邊，則作AB的中垂線(如圖1)，點P一定在中垂線上；

(2)如果AB為腰且∠A為頂角，則以點A為圓心、AB長為半徑畫圓(如圖2)，點P一定在這個圓上；

(3)如果AB為腰且∠B為頂角，則以點B為圓心、AB長為半徑畫圓(如圖2)，點P一定在這個圓上.

圖1 圖2

2 題型

2.1 一覽無遺，可直接用背景

此類題型的條件與背景問題非常接近，但往往會增加一些條件，如把問題放到網格或坐標系里，除找個數問題外還有可能求符合要求的點的坐標等問題.

例1如圖3所示的正方形網格中，網格線交點稱為格點．已知A,B是2個格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是

( )

A．6 B．7 C．8 D．9

(2010年湖南省株洲市數學中考試題)

圖3 圖4

圖5 圖6

分析若A為頂角的頂點，如圖4，以點A為圓心、AB長為半徑作弧，交網格于點C1,C2；若B為頂角的頂點，如圖5，以點B為圓心、BA長為半徑作弧，交網格于點C3,C4；若C為頂角的頂點，則C點應為AB的垂直平分線與網格的交點，如圖6作AB的垂直平分線交網格于點C5,C6,C7,C8.故選C.

評注此題是把背景問題放在網格內來考慮.若熟悉它的背景只要分別以點A,B為圓心、AB長為半徑作弧，同時作出AB的垂直平分線，然后看它們與網格內的格點有幾個不同交點就可以了，這樣可以迅速得出答案，還可以有效避免漏解的情況發生.

例2如圖7，點A,B,P在⊙O上，且∠APB=50°.若M為⊙O上的動點，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點M有

( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

(2010年陜西省數學中考試題)

圖7 圖8

分析如圖8所示，分別以點A,B為圓心、AB長為半徑作圓，同時作出AB的垂直平分線，容易看出它們與⊙O共有4個不同的交點.故選D.

例3如圖9，在平面直角坐標系xOy中，分別平行x,y軸的2條直線a,b相交于點A(3，4)．聯結OA，若在直線a上存在點P，使△AOP是等腰三角形，那么所有滿足條件的點P的坐標是______.

(2010年四川省宜賓市數學中考試題)

圖9 圖10

分析如圖10，分別以點O,A為圓心、OA長為半徑作圓，同時作出OA的垂直平分線，容易看出它們與直線a共有4個不同的交點，然后通過計算可以得出4個點的坐標分別為

評注此題把該類問題放到了坐標系的背景下，多了求坐標的環節.解決此類問題也應該把所有符合要求的點先全部找到，不遺漏，然后才是計算的問題.

2．2 已知個數，需分析背景

例4已知點A,B,P是⊙O上不同的3個點，∠APB=α，點M是⊙O上的動點，且使△ABM為等腰三角形.若滿足題意的點M只有2個，則符合條件的α的值有

( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

分析易知AB的垂直平分線與⊙O必有2個交點，因此滿足題意的點M至少有2個.而此題條件告訴我們滿足題意的點M只有2個，說明分別以點A,B為圓心、AB長為半徑的2個圓與⊙O的交點只可能是以下2種情況：

(1)以點A,B為圓心、AB長為半徑的2個圓與⊙O除點A,B外無其他交點(如圖11)，此時AB為⊙O的直徑，α=90°；

(2)點A,B為圓心、AB長為半徑的2個圓與⊙O的交點除點A,B外，都與M1(或M2)重合(如圖12)，此時AM1=BM1=AB，即△ABM1是等邊三角形，易知α=60°或α=120°.

故選C.

圖11 圖12

評注此題對多數學生來說難度較大，不僅要知道背景，還要能分析為什么滿足題意的點M只有2個，對學生思維的深刻性和靈活性要求較高.

2.3 增加條件，要挖掘背景

圖13

( )

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個

(2010年山東省濟南市數學中考試題)

圖14

分析該題問點E的位置共有幾個，結合條件容易知道等價于問這樣的點P有幾個.由條件可知，在點E運動的過程中始終有BP=BA=4，且點E運動到點C位置時，P在點A關于BC的對稱點A′的位置，因此點P的軌跡是以點B為圓心、4為半徑的半圓上，如圖14所示(不含點A).此時再作線段BC的中垂線及分別以點B,C為圓心、BC長為半徑的2個圓，容易看出它們與點P的軌跡有4個交點(如圖14).故選C.

( )

A．2 B．3 C．4 D．5

(2012年浙江省杭州市數學中考試題)

分析此題的解析式中含參數k，對很多學生造成干擾，他們會對k進行討論，看不清問題的關鍵所在，出現漏解的情況在所難免.事實上，只要稍作分析便知該拋物線必過點A(-1,0)和C(0,-3)，問題就轉化為已知在坐標平面內有點A(-1,0)和C(0,-3)，在x軸上找一點B，使△ABC為等腰三角形，這就是背景問題.易知這樣的點B共有4個，且其橫坐標都不為0(橫坐標為0時,k無解)，因此對應的k有4個值，即滿足條件的拋物線有4條.故選C.

評注該題比較有新意，能把一個大家都熟悉的問題放在一個新穎的背景下，從而能很好地考查學生的思維品質.

數學問題與題型層出不窮，要做到以“不變”應“萬變”，就要把握問題的背景與結構形式，關注共性、形成知識結構(多題一解，舉一反三，形成解題模塊)，加深對數學問題的本質認識，提高分析解決問題的能力.

[1] 張麗娜.用分類思想探求“滿足條件的點”[J].初中數學教與學，2011(3)：5-8.