“隨機數的產生與應用”課堂實錄及反思

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(溫州中學 浙江溫州 325014)

“隨機數的產生與應用”課堂實錄及反思

●孫軍波徐芳芳

(溫州中學 浙江溫州 325014)

“上好一節課好難，上好一節公開課更難”，這是很多一線教師的心聲.筆者有幸參加了2012年第6屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動，深有體會.大會指定給筆者的課題是“隨機數的產生與應用”，以下為筆者在備課和上課過程中的一些想法，敬請大家批評指正！

1 備課困惑

“隨機數的產生與應用”即人教版《數學(必修3)》第3章“概率”中“(整數值)隨機數的產生”一節.主要內容是借助計算機產生隨機數，通過數學建模解決實際問題，讓學生體會頻率穩定趨于概率的客觀規律.這是易被忽視但卻極具數學內涵的一節課.學生通過前期學習，已掌握隨機事件的概率、古典概型，并且在第2章統計中接觸過隨機數表.有些學生在計算器中學習過隨機函數，因此對學生而言，隨機數有點熟悉卻還是陌生.根據內容解析和教學任務，本節課的教學目標確定為：

(1)通過對計算機模擬拋硬幣問題的解決，運用計算器(機)等信息技術手段，獲得計算機模擬拋硬幣的試驗結果，比較模擬實驗結果和科學家物理試驗的結果，認識到它們之間的區別和共同之處，體會偽隨機數模擬隨機數的過程，認識到計算機模擬實際問題的可行性，了解隨機模擬的方法：建模——模擬——分析.

(2)通過合理地介紹隨機模擬的歷史、用途，表達實際問題中引進隨機模擬方法的必要性，認識到隨機模擬方法的實用性.

(3)經歷建立和運用隨機模擬方法的過程，初步體驗數學建模的基本思想，體會數學的作用與價值，培養分析問題、解決問題的能力.

這部分內容的教學處理，以隨機數的產生與應用這一內容為主線，讓解決模擬投擲硬幣為先導，引入隨機數的產生，以天氣預報問題為實際應用，將前面已學過的內容及處理問題的思想方法緊密結合起來，使之成為一個整體．因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經歷計算機模擬硬幣的全過程，能在這一過程中認識實際問題轉化為數學問題的過程，認識計算機模擬的作用，體會隨機模擬的思想方法.

結合以上分析,本節課的教學重點為：將實際問題轉化為數學模型，在計算機模擬試驗的過程中，體會隨機數產生的必要性及隨機數的實用價值．其中教學最大的難點確定為：如何讓學生體會到一個事件的概率與隨機數的產生有關，以及數學模型的建立.

根據教學重點和難點,本節課的教學流程主要分為4個環節:群策群力建模型、計算機模擬拋硬幣、追溯歷史知用途、親身試驗深感受.

2 課堂實錄

2.1 課堂教學片斷1：群策群力建模型

師：在“隨機事件的概率”一節課中，同學們做了大量重復試驗，這樣做試驗很費時間，有沒有其他方法可以代替試驗呢？

生：用計算機模擬.

師：如何用計算機模擬拋硬幣呢？計算機不能像人一樣用手去拋硬幣，也不能用肉眼來觀看結果，那如何用計算機模擬拋硬幣呢？

生1：可以規定硬幣正面向上為1,反面向上為0,再用計算機隨機產生0,1，就可以代替拋硬幣.

師(追問):為什么要規定硬幣正面為1,反面為0?

生1:因為計算機能處理數字、函數.

師:這是一個劃時代的想法,當我們給予試驗結果以數字特征后,便實現了計算機模擬的可行性.

師：其實在大家身邊的計算器中就存在一個可以隨機產生0,1的函數，有沒有同學知道？

生2：是ranint函數.

(該生上臺操作演示給其他學生看.)

師：隨機函數就在大家身邊，這樣做速度是比手工拋硬幣快，但是記錄結果還是要依賴手工.其實在Excel中也存在一個函數，叫randbetween(a,b),它可以等可能地返回[a,b]內的任意一個整數.接下來我們一起來用計算機模擬一下.

設計意圖通過討論“如何用計算機模擬拋硬幣”，讓學生自己給予試驗結果以數字特征.因為他們發現只有給予試驗結果以數字特征，計算機才好處理，數學建模的思想才能很好地滲透進去.

2.2 課堂教學片斷2：追溯歷史知用途

通過用Excel模擬拋硬幣，獲得了一張試驗結果的統計圖.通過觀察發現，計算機模擬的結果與數學家的試驗結果基本吻合.在這一環節中，通過眾所周知的拋硬幣問題肯定了隨機模擬方法是可行的、可信的.那隨機模擬方法有什么用？是誰發明的？什么才是真的隨機數？

其實用計算機隨機函數產生的并不是真正的隨機數.例如要產生0，1之間的隨機整數，我們把2個大小形狀相同的小球分別標上0，1放入一個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數.計算機或計算器上產生的隨機數并不是真正的隨機數，它們具有類似隨機數的性質，我們稱為偽隨機數.上面用計算機或計算器模擬了擲硬幣的試驗，我們稱用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法.

蒙特卡羅方法由在20世紀40年代美國第二次世界大戰中研制原子彈“曼哈頓計劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出.數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城——摩納哥來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩.在這之前，蒙特卡羅方法就已經存在.1777年，法國數學家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率π.這被認為是蒙特卡羅方法的起源.

借助計算機技術，蒙特卡羅方法實現了2大優點：一是簡單:省去了反復的數學推導和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速.簡單和快速，是蒙特卡羅方法在現代項目管理中獲得應用的技術基礎.

2.3 課堂教學片斷3：親身試驗深感受

通過歷史的介紹，一下子點燃了學生的求知欲望.在應用環節，筆者主要解決書上的例題：

天氣預報說，在今后的3天中，每一天下雨的概率均為40%,這3天中恰有2天下雨的概率是多少？請你設計一個用隨機數模擬的方案.

一下子從拋硬幣問題到這個問題難度有點大.硬幣只有2個面，學生根據已有的認知水平，容易建立數學模型.但是3天中恰好有2天下雨的問題，它涉及3個隨機數，并且概率還是40%，跳躍幅度大.這是本節課的一個教學難點，為此在這個環節中筆者設置了這樣一個鋪墊：

(1)已知袋中有大小相同的7個黃球和3個紅球，假設每個球被摸到都是等可能的，利用隨機模擬的方法，估計任取一球得到紅球的概率.

生3：將紅球標為1，2，3，黃球標為4，5，6，7，8，9，10.用隨機函數randbetween(1,10)統計其中1，2，3出現的頻率，計算不同次數下的頻率，觀察紅球出現的頻率是不是隨著試驗次數的增加越來越穩定在某個常數附近.

師：非常好!我們不僅可以解決概率為0.5的數學概率模型，還可以模擬其他概率模型，不過這個問題大家用所學過的古典概型即可解決，接下來我們一起來挑戰一下.

(2)書本上關于“天氣預報”的例題.

經過充分的討論后，請學生講解其方案，其他學生進行討論.

生4:能不能用古典概型來算?排除3天都不下雨、3天都下雨、恰好1天下雨的事件.

生5:不可以,顯然由于每天下雨的概率是40%,3天連著下雨和3天都不下雨這2個基本事件不是等可能的,不能用古典概型.

(大家對這位學生的想法表示肯定.)

生6：首先取1～10這10個數字，規定1,2,3,4為下雨，5～10為不下雨，3個隨機數為一組，產生數字以后，統計3個數字中恰好有2個小于5的數的組數，根據這個組數除以總數，計算頻率，用頻率來估計它的概率.

師：好，就按這位同學說的，大家試試看.

(教師強調試驗的各項條件，試驗后匯總數據,如圖1所示.)

圖1

師：就目前的結果而言，頻率有沒有出現穩定，那我們應該怎么辦？

(有學生點頭，有學生搖頭.)

生(眾)：增加試驗次數.

借助Excel繪制得到如圖2的統計圖：

圖2

通過觀察發現，隨著試驗次數的增加,頻率大約穩定在0.29.至此學生發現蒙特卡羅方法還可以解決一些更為復雜的概率問題.

3 專家點評

本課例是筆者參加第6屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動，為大會指定的課題.組委會聘請了全國知名的教授作為評委，因此本課有幸得到了幾位專家的點評和意見.他們提出的許多寶貴且具有深遠意義的意見和建議，也引發了筆者更多、更深的思考.整理如下：

3.1 活用教材

備好一節課，首先應該要用好教材，教材理解深刻、到位，才能出好課.情境創設要接近生活，不可脫離實際，不要為了創設而有情景，合理的情景創設可以更好地激發學生的興趣；問題設置必須清晰合理，好的問題可以引領著學生去思考，幫助學生理解概念；信息技術的有機融合，就像本課對信息技術的處理非常好，隨機數要用Excel來產生.教師如果把握不好，極易把數學課變成信息課，使得學生的興奮點停留在計算機上，更會淡化數學味道，因此對教材一定要理解到位；數學應該提供思想，提供建模的思想，信息技術是輔助我們實現想法的工具；數學文化的滲透非常必要，在了解蒙特卡羅方法歷史的環節中，學生興奮的表情表達了他們極大的求知欲望，這也是教材把歷史背景放在其中的重要原因.

3.2 尊重學生

課堂教學一定要注重學生活動與自主探究，學生有沒有動起來是非常重要的.比如在隨機數應用的環節，讓學生討論，學生間的討論代替了傳統教師的評價，使得學生更容易發現以目前的古典概型知識較難解決天氣預報問題，在學生成功提出方案后，讓所有的學生參與進來，更加體現出數據的隨機性和真實性，讓學生親身經歷了模型的建立，數據的產生與處理，試驗結果的分析，成功滲透了數學建模思想.很多時候，教師擔心學生講不好，著急地越俎代庖，這樣做的效果并不是真正的有效教學，學生親歷的往往是他印象最深的，因此個別環節教師甚至可以更大膽地放手.

4 自我反思

在聽完教授的分析點評后，筆者思考良久，多次的磨課經歷涌上心頭，有2點感悟特別深刻：

(1)備一節課好難，但是好課就在身邊.剛開始備這節課時，感覺不知從何挖掘.因為這是一節對信息技術依賴比較大的課，所以易被大家所忽視.通過長時間的磨課后，筆者發現這是一節非常具有數學內涵的課，它的核心內容是用計算機產生隨機數，幫助解決更復雜的概率問題.首先通過硬幣試驗需要耗時耗力提出問題，在借助計算機解決模擬拋硬幣問題的同時，發現計算機模擬的結果與科學家手工試驗的結果基本吻合，肯定了蒙特卡羅方法是可行的、可信的.其次利用隨機數解決目前古典概型相對難解決的天氣預報問題，使學生再次回顧了利用頻率來估計概率的大數定律.而整個問題的解決過程不就是一個數學建模過程嗎？這節課不就是一個數學知識實際應用問題嗎？教材需要我們好好去思考和挖掘，好課的發現需要我們好好再去思考一下.

(2)“尊重學生，以人為本”不能只停留在口號上.當課堂變得無趣，學生變得不配合時，也許可以考慮一下，我們是不是真的盡力了.筆者在磨課過程中，就曾經遇到學生冷場的情況.回頭想想，其實是當時的問題設計得不夠到位，不能真正地引發學生的思考，有些時候是自己拼命地講，學生只好乖乖地等著、瞪著.尊重學生，尊重學情，好的課堂才會自然而來.