一節專題復習課的設計與反思
——以“圓錐曲線中的最值問題”為例

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(黃巖中學 浙江黃巖 318020 )

一節專題復習課的設計與反思
——以“圓錐曲線中的最值問題”為例

●李柏青

(黃巖中學 浙江黃巖 318020 )

在“中小學數學課程核心內容及其教學的研究”第4次研討會上,筆者上了一節高三專題復習課“圓錐曲線中的最值問題”.圓錐曲線中的最值問題是與圓錐曲線相關的典型綜合性問題.通過這一類問題的分析、解決和反思,能引導學生提煉數形結合思想方法和解決此類問題的基本策略,舉一反三、觸類旁通,發展數學思維.

1 設計前的思考

1.1 內容分析

在解析幾何中,曲線是具有某種屬性的動點軌跡,在用坐標法建立點與有序數對的聯系后,點動伴隨著數量的變化,研究變化中的最值問題自然而生.圓錐曲線中的最值問題,涉及圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質等核心內容,核心思想是數形結合思想,基本策略主要是通過代數分析和幾何分析,建立適當的數學模型(主要是函數模型和幾何模型).其中幾何分析宜優先選擇,即依據曲線的定義和幾何性質,借助幾何直觀直接作出最值點位置的判斷；但當幾何關系不明顯時,就需要借助代數分析來實現突破,即通過引進參變量,將目標表示為參變量的函數,進而轉化為函數的最值問題求解.

根據上述分析,本課的教學重點是:通過對圓錐曲線中最值問題的分析與解決,掌握代數分析和幾何分析2種基本策略,并能進行簡單的應用.

1.2 學情分析

在本課學習前,學生對圓錐曲線中的基礎知識和基本方法有了一定的理解和掌握,對圓錐曲線中的最值問題也有過一些接觸,初步具備了自主解決一些簡單問題的能力.在解決較綜合的問題中,可能會有以下一些障礙:

(1)審題往往是薄弱環節,比如不明確問題的條件和結論,就進行盲目的求解；不重視目標的導向作用,忽視變量隱含的取值范圍等等.

(2)面對問題的條件和結論,難以激活相關的知識,不能加以靈活運用.

(3)分析過程缺乏策略性知識,不能對解決問題的策略作出合理的選擇或判斷.

(4)代數的運算能力不強,忽視圖形中幾何關系的推理轉化，在一定程度上影響問題解決的執行力.

(5)解題習慣于就題論題,缺乏自主性的總結與反思,對解決問題的方法和策略認識模糊,難以形成有效的學習經驗.

為了突出重點,確定本課的難點是:圓錐曲線相關知識的綜合與聯系,加強數形結合的能力，提高策略性知識的學習與運用.

在教學中,設置的問題力求簡潔明了,分析時保證學生獨立思考的時間,重視自我反思和總結.同時通過多題一解強化技能,通過一題多解激發學生思考的熱情和創新的意識.

1.3 確定目標

根據教學內容與學情分析,確定本課的教學目標：

(1)了解圓錐曲線中的最值問題的特點,通過一些典型問題的分析與解決,了解代數分析和幾何分析這2種基本策略,明確方法的操作步驟,能根據問題的特點選擇合理的策略；

(2)通過最值問題的解決,進一步加深對圓錐曲線定義、方程、幾何性質等基礎知識的理解和運用,體會數形結合思想；

(3)在問題解決的過程中,學會自主探究,在交流、反思、概括的過程中強化策略意識和創新意識.

2 過程的設計

圖1

2.1 解決問題,提煉策略

如圖1,點P是拋物線上的一個動點,隨著點P的運動,一些與之相關的量也隨之發生著變化,而研究變化中的最值問題是一項既有意義又有挑戰性的任務.

如何根據這類問題的特點,尋求相應的解題策略是我們本課研究的重點.

問題1做一做，想一想

已知F(0,1),M(0,3),N(3,0),P是拋物線x2=4y上的一個動點.

(1)求|PF|的最小值；

(2)求|PM|的最小值；

(3)求|PM|+|PN|的最小值.

解后反思(1)分析你在求解過程中主要用了哪些知識?

(2)你能概括出求解過程中關鍵的操作步驟嗎？

(3)你能否用簡單的語言總結解決圓錐曲線中最值問題的基本策略？

(4)面對具體問題時如何選擇相應的策略,你有怎樣的經驗？

設計意圖問題1結構清楚,入口簡單,計算簡明.在方法上有回歸定義、構造函數、幾何論證等典型方法．讓學生先做,一方面是了解學生的學習水平,診斷學生在學習中存在的問題；另一方面,通過學生的做,對此類問題及其解法有切身的感受與體驗.

由于學生的能力有差異,同時出示“問題和反思”,可以為學生提供自主發展的時間和空間．同時也提醒學生解題不是最終目的,重要的是學會解題后的反思，從而總結出解決圓錐曲線中最值問題的基本策略以及具體明確的操作步驟.

2.2 初步應用,鞏固策略

2.2.1 基礎訓練

(1)點P是拋物線C：x2=4y上的動點,F是拋物線C的焦點,點M(2,4),則|PF|+|PM|的最小值為________.

設計意圖基礎訓練涉及拋物線、圓與橢圓上的動點,目標依然是兩點間距離的最值，它是對已經獲得的基本策略和方法的檢測和強化.其中第(1)小題利用拋物線的定義轉化為求點P到準線與定點的距離之和的最小值,再利用平面幾何知識作直接判斷；第(2)小題先利用圓的幾何特點,得到|PM|-1≤|PQ|≤|PM|+1,從而將問題轉化為求橢圓上動點P到圓心M的距離|PM|的最值問題,再利用代數的方法建立目標函數進行求解．

2個問題都利用幾何關系先將目標量進行適當轉化,再通過幾何分析或代數分析的策略進行求解,體現了解法的靈活性.設計成填空題的形式可引導學生優先選擇圖形直觀解決問題,解答題形式強調理性推導,對學生的掌握情況進行有效的反饋.

2.2.2 變式訓練

問題2議一議

圖2

設計意圖本題以直線與橢圓的位置關系為背景,以直線運動引發數量“比值”的變化.實際上是基本訓練中第(2)小題的變式.

采用問題變式,促使學生透過表面現象把握問題的本質.同時通過一題多解,引導學生養成深入思考、優化選擇、積極進取的學習習慣.

2.3 綜合應用,提升策略

問題3說一說

圖3

你能說明理由嗎？談談你的解題思路,并與同學議一議,了解一些不同的思路.

設計意圖本題重在一題多解，在策略的選擇、方法的實施中各個環節都會有不同方案：

若將圖形的變化歸因于直線y=kx的運動,則以k為參變量,通過求弦長|PQ|和點A,B到直線y=kx的距離來構建目標函數：

若將圖形的變化歸結為點P的運動,則以點P的坐標為參變量,利用圖形的結構特點建立目標函數,建立的過程也可有不同的方法：

(1)S=S△ABP+S△ABQ=

(2)S= (S△POB+S△QOB)+(S△POA+S△QOA)=

若從圓與橢圓類比的角度分析,可以通過伸縮變換將橢圓的內接四邊形映射為圓的內接四邊形.利用圖形的幾何特征判斷出圓內接四邊形面積的最大值,再反演到橢圓內接四邊形面積的最大值.

上述解法充分體現了策略的選擇性和方法的靈活性,強調了數形結合、轉化與化歸等核心思想的運用.在使用過程中借助一個“好題”,由學生自主地思考、討論、交流、表達,以一題多解的方式提升思維的深刻性和創造性,激發學生參與學習的熱情,養成鍥而不舍的意志品質.

2.4 反思總結,內化策略

通過本節課的學習,你有什么收獲？

(1)你能否總結出解決圓錐曲線中最值問題的一般策略？

(2)能否進一步說明這些方法的具體步驟？

(3)你還有其他收獲或感想嗎？請與大家一起分享.

設計意圖教師引導下的自主反思,是解題策略和思想方法內化的有效途徑.

圖4

2.5 目標檢測

設計意圖提出問題是學生學習的“弱點”.在復習課的教學中,讓學生嘗試從特定角度提出“自己”的問題并交流.這既是目標達成的檢測,也是對學生創新意識的培養.

3 基于課例的反思

從教學實施的情況看,基本達到了預期的效果,學生的參與度高,思考時間充足,課堂氣氛熱烈,精彩生成不斷.課中及課后的反饋表明教學是有效的.

專題復習課一般針對某些核心知識、某類典型的問題、某種思想方法作專題性的復習.它的重點是程序性知識和策略性知識的學習.通過問題的解決,明確方法的操作步驟,體會數學思想方法的應用,掌握解決一類問題的基本策略,并能進行自覺的遷移.

本課作為一節典型的專題復習課,課堂結構相對穩定,教學環節比較鮮明.具體如表1所示：

表1 專題復習題的組成

續表1

鞏固策略提出已知問題的簡單變式簡單運用策略,獨立解決,鞏固所得,強化技能,提高遷移能力組織反饋與評價提升策略提出綜合性、發展性和挑戰性的問題交流、討論,尋求問題解決的思路與方法,追求一題多解、發展思維組織、講解、引導、激勵策略內化提出反思性問題自己反思、總結,相互交流心得組織、鼓勵目標檢測提出開放性問題獨立編題、相互解題提供問題背景,組織交流與評價

在這些環節中,問題的設置是核心環節.問題的設置要圍繞著核心內容和思想方法，要強調知識的綜合和聯系，針對學生的問題，保證一定的層次性和發展性,能進行適當的延伸或變式.

本課教學中設計了獨立解決、反思提煉、合作研討、講議結合、思路探尋等各種活動——“做、思、說、議”,這些活動都是為概括數學思想方法和解決問題策略服務的.獨立解決問題、反思總結是基本學習活動的平臺.

概括是學習數學思想方法和解決問題策略的關鍵.概括就是把典型問題解決的基本步驟和要點一般化、程序化,并用語言清晰表述,使之成為今后問題解決的指南.

適當訓練是內化數學思想方法和解決問題的基本途徑.要把總結出的思想方法和策略內化為問題啟動的自動化行為習慣,需要經過適當的訓練使操作程序“縮短”,形成可以嵌入新情境的“子程序”,并通過相互聯系,形成數學思想方法和策略系統.

綜上所述,以問題為載體,以解決問題和反思總結為平臺,以概括數學思想方法、發展數學思維為核心,以適當訓練為渠道,這應該是專題復習課教學的基本策略.

[1] 涂榮豹,寧連華.中學數學經典教學方法[M].福州：福建教育出版社,2011.6.

[2] 曹才翰,章建躍.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社,2008.4.