妙建模型求最值

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(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

妙建模型求最值

●占新華毛幼娥

(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

幾何最值問題近幾年廣泛出現在各地中考與競賽試卷中．此類問題往往以平面圖形或直角坐標系為載體，且形式多樣,具有較強的綜合性，對考生的能力要求較高．此類問題常具有很強的探索性，需要運用動態思維、數形結合、特殊與一般相結合、邏輯推理與合情想象相結合等思想方法解決,需要我們善于引導學生挖掘問題的本質，從中歸納出思想、方法．

本文試圖從“妙建數學模型”入手，挖掘教學資源、注重多題一解，在培養學生知識遷移能力方面作一些嘗試與探索．

1 妙用幾何不等式模型

1.1 和最小模型

圖1

“和最小模型”的一般表述是：如圖1，已知A，B是直線l同側的2個點，試在l上找一點P，使得線段PA與PB之和最短．

這里要注意：(1)A，B是已知直線l同側的2個定點,P是l上的動點；(2)求的是當線段PA,PB的總長度最小時,點P在l上的位置．只有(1)，(2)全符合時，才能使用“和最小模型”．

圖2 圖3

(2011年全國初中數學聯賽武漢市選拔賽試題)

分析由于點M,N均在某個范圍內連續變化，故應整體考慮，注意到平分關系，可以考慮軸對稱變換，化“折”為“直”，利用最小值模型求解．

解如圖3，因為AD平分∠BAC,可以作點B關于AD的對稱點B1,聯結B1M,再作B1N1⊥AB,垂足為點N1,交AD于點M1,則

BM+MN=B1M+MN≥B1N1,

當點M,N分別處于點M1,N1位置時,BM+MN=B1N1取到最小值．因為

所以B1N1=4,即BM+MN的最小值為4.

例2河岸l同側的2個居民小區A,B到河岸的距離分別為am,bm(即圖4中所示AA′=am，BB′=bm)，A′B′=cm.現欲在河岸邊建一個長度為sm的綠化帶CD(寬度不計)，使C到小區A的距離與D到小區B的距離之和最小.

(1)在圖4中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；

(2)求AC+BD的最小值．

(第21屆江蘇省初中數學競賽試題)

圖4 圖5

分析同樣是求2條線段和的最小值問題，不同之處在于2條線段AC和BD沒有公共端點.注意到所給的綠化帶CD的長是一個定值，若將線段AC(或BD)沿與直線l平行的方向平移與CD等長的距離，就可以使它們的一端重合，將問題轉化成有公共端點的直線同側2條線段和的最小值問題，從而使問題得到解決．

解(1)如圖5，作線段AP∥直線l，使AP=s，且點P在點A的右側，取點P關于直線l的對稱點P1，聯結BP1交直線l于點D，在直線l上點D的左側截取DC=s，則CD即為所求綠化帶的位置．

(2)由對稱性得P1D=PD，又PD=AC，于是P1D=AC，若綠化帶建于直線l上任一位置C1D1，則

AC1+BD1=PD1+BD1=P1D1+BD1≥BP1，

且當點D1在線段BP1與直線l的交點時等號成立，從而

AC+BD=P1D+BD=P1B=

例3如圖6，在邊長為1的正方形ABCD中，點M,N,Q,P分別在邊AB,BC,CD,DA上．如果AM=BM，DP=3AP，求MN+NQ+QP的最小值.

圖6 圖7

分析盡管本題變成了3條線段和的最值問題，但實質還是通過軸對稱求最小值．

小結通過上面的例子可以看出，在求線段和的最小值時，往往運用“對稱”或“平移”等方法，起到“化折為直”的作用，運用“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”等幾何原理，巧用“和最小模型”以不變應萬變，最終形成解決問題的基本策略．

1．2 差最大模型

“差最大模型”和“和最小模型”類似，下面舉例說明．

例4如圖8，已知點A(1，3),B(5，-2)，試在x軸上找一點P，使|AP-BP|最大，求滿足條件的點P的坐標．

圖8 圖9

分析點A,B在x軸的2側，線段AP,PB的長度隨點P在x軸上位置的改變而改變，在x軸上找不到特殊的位置使得|AP-BP|最大，于是考慮作點B關于x軸的對稱點B1，使點A,B1在x軸的同側，顯然

|AP-BP|=|AP-B1P|.

當點A,B1,P構成三角形時,

|AP-BP|=|AP-B1P|

當點P在直線AB1與x軸的交點處P1時(特殊位置)，

|AP-B1P|=AB1,

除了點P1外，另外在x軸上的任意一點都與點A,B1構成三角形.因此當點P在點P1的位置時，|AP-BP|最大．

解如圖9，作點B關于x軸的對稱點B1，則B1(5,2)，可求得直線的解析式為

令y=0,得x=13，故點P(13,0).

圖10 圖11

例5如圖10，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A,B分別在邊OM，ON上，當點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1.在運動過程中，點D到點O的最大距離為

( )

分析如圖11，取AB的中點P，聯結PD,PO，在運動過程中，線段PD,PO的長度保持不變，聯結DO.不難發現，當點D,O,P構成三角形時，DO

解取AB的中點P，聯結PD,PO，則

通過上面的例子我們可以看到，在求“和的最小值”和“差的最大值”時，往往借助某個三角形模型，利用“三角形2邊之和大于第3邊”或“三角形2邊之差小于第3邊”得以解決．

2 妙用代數不等式求最值

由于幾何最值都是在動點背景下產生的，當運用幾何方法較難解決問題時，可以設某條變化的線段長為自變量，結合圖形特點，構造函數或方程求最值．

2.1 基本不等式

可以利用如下基本不等式來求最值：

圖12

例6如圖12，已知平行四邊形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于點Q，求AP+BQ的最小值．

解設AP=x，由△APD∽△BPQ，得

即

從而

又因為

2.2 構造一元二次方程

可以構造一元二次方程，利用一元二次方程必定有解的代數模型求最值．

例7已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的3條邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．

分析頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上.當頂點Z在斜邊AB上時，取XY的中點，通過幾何不等關系求出直角邊的最大值;當頂點Z在(AC或CB)上時，設CX=x，CZ=y，建立x，y的關系式，運用代數的方法求直角邊的最大值.

解(1)如圖13，頂點Z在斜邊AB上，取XY的中點M，聯結CM,ZM,CZ，并作邊AB上的高CN，則

圖13 圖14

(2)如圖14，頂點Z在直角邊CA(或CB)上，由對稱性，不妨設點Z在CA上，設CX=x，CZ=y,并過點Y作YH⊥CA于點H，易證△ZYH≌△XZC，得

HZ=CX=x，HY=CZ=y.

又△AHY為等腰直角三角形，則AH=y，設AC=b，則2y+x=b，即x=b-2y，在Rt△CXZ中，

y2+(b-2y)2=12,

即

5y2-4by+b2-1=0.

因為y為實數，則

Δ=16b2-20(b2-1)=20-4b2≥0，

所以

適當選取變量，建立幾何元素間的函數、方程、不等式等關系，再運用相應的代數知識求解，也是求幾何最值問題的一種常用的方法．