用導數解決數學競賽中的不等式問題

●

(瑞安中學 浙江瑞安 325200)

用導數解決數學競賽中的不等式問題

●潘賢沖

(瑞安中學 浙江瑞安 325200)

不等式是高中數學競賽中的常見問題，同樣也非常受國際數學奧林匹克的青睞.本文通過以直代曲思想、洛比達法則、泰勒展開等對一些實例進行分析和求解，介紹導數在解決這些問題中的應用.

1 以直代曲思想

把點P附近函數的圖像放大，引導學生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區域內，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線(如圖1所示).

圖1

1.1 直接使用

(第1屆陳省身杯全國高中數學奧林匹克競賽試題)

即

從而

即

于是

當且僅當a=b=c=1時等號成立.

(2007年全國高中數學奧林匹克競賽試題)

1.2 先變換再使用

(2008年馬其頓高中數學奧林匹克競賽試題)

證明令a+b+c=x(x≥3)，由(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)及已知條件可得

a3+b3+c3=x3-24，

只需證明

即

x27-326(x3-24)≥0.

令f(x)=x27-326(x3-24)，則當x≥3時，

f′(x)=27x26-327x2=27x2(x24-324)≥0,

從而f(x)=x27-326(x3-24)在[3,+∞)上單調遞增，即f(x)≥f(3)=0，原不等式成立.

點評例1和例2都是通過構造函數，且函數可以直接從需要證明的不等式中看出，這類問題只需要直接用“以直代曲”來處理即可.而例3要先通過轉化，對要證明的不等式進行變形，得到一個簡單不等式，再通過構造函數f(x)=x27-326(x3-24)，證明其在區間[3,+∞)單調遞增，從而得到要證明的不等式.

2 洛必達法則的應用

(1)當x→a時，函數f(x)和g(x)都趨于0；

(2)在點a的去心鄰域內，f′(x)和g′(x)都存在且g′(x)≠0；

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重要內容，在解題中應注意：

②若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止.

例4設函數f(x)=1-e-x(e是自然對數的底).

(1)證明略.

(2)解由題設當x≥0時，f(x)≥0.

當a≥0時，則ax+1>0,當x=0時，顯然成立.

h′(x)=2(ex-x-1).

當x>0時，h′(x)=2(ex-x-1)>0,則h(x)=2ex-x2-2x-2在(0,+∞)上單調遞增.依此類推可得：當x>0時，

點評對恒成立問題中的求參數取值范圍，參數與變量分離較易理解，但有些題中求分離函數式的最值有點麻煩，利用洛必達法則可以較好地處理，是一種值得借鑒的方法.

3 泰勒展開式的應用

例5設a,b∈(0,1)且a≥b.證明：aa+bb≥ab+ba.

首先證明一個引理.

引理當x∈(-1,+∞)，t>1時，(1+x)t≥1+tx.

證明構造函數f(x)=(1+x)t-1-tx，則

f′(x)=t(1+x)t-1-t=t[(1+x)t-1-1].

令f′(x)≥0,則x≥0,故f(x)在(-1,0]上單調遞減，在[0,+∞)上單調遞增，于是f(x)≥f(0)=0,即(1+x)t≥1+tx.

再來看原題的證明：

證明原不等式等價于當a,b∈(0,1)且a≥b時，aa-ab≥ba-bb.

構造函數g(x)=xa-xb(x∈(0,1))，則

則g(x)在[b,a]上為增函數，原不等式得證.

點評如果函數f(x)的二階及二階以上導數存在且有界，可利用泰勒展開去證明這些不等式.一般可以先寫出比最高階導數低一階的泰勒展開式，再根據最高階導數的大小對展開式進行放縮.

導數是競賽中非常重要的一個內容，對導數的考查往往會和函數、不等式結合在一起，特別是與不等式的結合，會使得難度變大.本文筆者通過研究其高等數學背景，應用高等數學的知識來解決某些競賽題，旨在拋磚引玉，供同行參考.

[1] 歐陽光中,姚允龍,周淵.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，2003.

[2] 單墫.利用導數證明不等式[J].中等數學,2006(2)：11-15.