幾何計數問題的探究

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(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

幾何計數問題的探究

●汪衛芬

(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

幾何計數問題是數學競賽中的常見問題．所謂幾何計數是指計算滿足一定條件的圖形的個數．它的內容比較新穎有趣，為了準確計數，必需采用適當的計數方法化繁就簡，做到不重復、不遺漏，否則頭緒雜亂，很難得出準確的結果．

本文介紹初中數學中經常使用的計數方法供讀者參考：

1 分類窮舉

此法即根據對象的特征，把它分成若干類，再一個一個地數出來．其中分類的標準常見的有以下幾種：(1)按照包含同一圖形進行分類；(2)先劃分出基本圖形，再按照包含基本圖形的數目分類；(3)按照圖形的大小分類；(4)按照圖形的形狀分類；(5)按照圖形所處的位置分類．

圖1

例1如圖1，在同一條直線上的6個點A,B,C,D,E,F共可構成多少條線段？

分析對于2條線段，只要有一個端點不同，就是不同的線段，以左端點為標準，將線段分5類分別計數：

(1)以A為左端點的線段有AB，AC，AD，AE，AF共5條；

(2)以B為左端點的線段有BC，BD，BE，BF共4條；

(3)以C為左端點的線段有CD，CE，CF共3條；

(4)以D為左端點的線段有DE，DF共2條；

(5)以E為左端點的線段只有EF一條．

因此，不同的線段共有

5+4+3+2+1=15(條)．

評注本例所用的方法是：(1)按照包含同一圖形進行分類；(2)先劃分出基本圖形，再按照包含基本圖形的數目分類．

例2圖2是“6×4”的矩形，問其中包含了多少個正方形？

分析可按照面積的大小，將正方形分5類分別計數：

(1)邊長為1的正方形的個數是6×4=24；

(2)邊長為2的正方形的個數是5×3=15；

(3)邊長為3的正方形的個數是4×2=8；

(4)邊長為4的正方形的個數是3×1=3.

因此,不同的正方形共有

24+15+8+3=50(個)．

評注本例所采用的方法是：(3)按照圖形大小分類討論．

圖2 圖3

例3請你數一下圖3中有幾個三角形？

分析按照三角形的形狀，將三角形分6類分別計數:

第1類：與△ABE形狀有某些相似的三角形有5個；

第2類：與△ABF形狀有某些相似的三角形有5個；

第3類：與△ABG形狀有某些相似的三角形有10個；

第4類：與△ACD形狀有某些相似的三角形有5個；

第5類：與△AFL形狀有某些相似的三角形有5個；

第6類：與△AGD形狀有某些相似的三角形有5個.

因此,圖中的三角形共有35個．

評注本例所采用的分類討論方法是：(4)按照圖形的形狀分類；也可以說是(5)按照圖形所處的位置分類．

2 分解轉化

此法即把復雜的圖形分解為常見的基本圖形，或者將陌生的問題通過找對應將之轉化為我們熟悉的問題．

例4圖4中共有多少個角？

圖4 圖5

分析如圖5，作一直線l分別交射線OA,OB,OC,OD,OE于點A1,B1,C1,D1,E1，即直線l上的每一條線段對應著一個角，如線段A1B1對應∠AOB．

因此，數角與數線段相似，共有5×(5-1)÷2=10個角．

例5圖6中共有幾個長方形？

分析線段AM與AE對應著長方形AMPE，AM與AG對應著長方形AMQG，AM與AB對應著長方形AMNB，AM與EG對應著長方形EPQG，AM與EB對應著長方形EPNB，AM與GB對應著長方形GQNB．

就是說AM與AB邊的6條線段都分別對應著一個長方形，共6個長方形．

AD邊上共有3條線段，其余2條線段AD和MD也都分別對應著6個長方形，因此共有3×6=18個長方形．

評注一般地，類似于這樣的長方形(平行四邊形)，若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則共有長方形(平行四邊形)mn個．

圖6 圖7

類似的題目還有:

例6如圖7，將△ABC的每一邊4等分，過各分點作邊的平行線，在所得圖中有多少個平行四邊形？

3 代數計算

此法即依據圖形的特征規律，通過列代數式、方程、遞推式等代數方法計算．

例7問15條直線最多能把平面分成多少部分？

圖8

分析1條直線最多將平面分成2個部分；2條直線最多將平面分成4個部分；3條直線最多將平面分成7個部分；現在添上第4條直線．它與前面的3條直線最多有3個交點，這3個交點將第4條直線分成4段，其中每一段將原來所在平面部分一分為二，如圖8，因此4條直線最多將平面分成7+4=11個部分．

類似地，5條直線最多將平面分成11+5=16個部分；6條直線最多將平面分成16+6=22個部分；7條直線最多將平面分成22+7=29個；……依此類推，15條直線最多能把平面分成:

2+2+3+4+5+…+15=121個部分．

評注一般地，n條直線最多將平面分成：

例8把棱長為4的正方體分割成29個棱長為整數的小正方體，且沒有剩余，其中棱長為1的小正方體的個數是多少？

分析可知分成的小正方體棱長小于等于3，若分割出棱長為3的正方體，則余下的都是棱長為1的正方體，有37個，不合題意．

設棱長為1的正方體個數為x，棱長為2的正方體個數為y，則

得

x=24,y=5,

因此棱長為1的正方體的個數是24．

例9△ABC內部有1 999個點，以頂點A，B，C和這1 999個點為頂點能把原三角形分割成多少個不重疊的小三角形？

圖9 圖10

分析設△ABC內部的n-1個點把原三角形分割成an-1個小三角形，我們考慮新增加一個點Pn之后的情況：

(1)若點Pn在某個小三角形的內部，如圖9，則原小三角形的3個頂點連同Pn將這個小三角形一分為三，即增加了2個小三角形；

(2)若點Pn在某2個小三角形公共邊上，如圖10,則這2個小三角形的頂點連同點Pn將這2個小三角形分別一分為二，即也增加了2個小三角形．

因此,△ABC內部的n個點把原三角形分割成的小三角形個數為an=an-1+2．

易知a0=1，于是

a1=a0+2，a2=a1+2，…，an=an-1+2．

將上面這些式子相加，得an=2n+1．

當n=1 999時，3個頂點A，B，C和這1 999個內點能把原三角形分割成2×1 999+1=3 999個小三角形．

評注列出遞推關系式，運用數列知識進行計算．

4 2個原理

(1)分類加法計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

(2)分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法．

例10如圖11所示，從點A走到點B，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，問有多少種走法？

分析從點A到點B的路線可分成4類：

(1)經過點C的路線，可分2步走：從點A至點C有2條不同的路線，從點C到點B又有4條不同路線，于是從點A經點C到點B有2×4=8條不同路線；

(2)經過點D的路線，也可分2步走：從點A至點D不經過點C有2條不同的路線，從點D到點B又有3條不同路線，于是從點A經點D到點B有2×3=6條不同路線；

(3)經過點E的路線只有1條；

(4)經過點F的路線也只有1條．

綜上所述，從點A到點B共有8+6+1+1=16種不同走法．

圖11 圖12

例11將正方形每條邊4等分，取分點(不包括正方形的4個頂點)為頂點，可以畫出多少個不同的三角形？

分析第1類：三角形的2個頂點在正方形的一邊上，正方形的每條邊上以分點為端點的線段共有3條，4條邊上共有12條線段可以作為三角形的一邊，再取不與這一線段在一邊上的分點作為另一頂點，則有9種可能，故共有三角形12×9=108(個)．

因此符合題意要求的三角形共有108+108=216(個)．

5 正難則反

華羅庚曾說：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅．”某些計數問題如果正面比較困難，或者正面情況比較多且復雜時，不妨可以試一下它的反面，若能計算出它的反面的個數m，以及全部個數n，便得該題的結果為n-m．

圖13

例12數一數，圖13中共有多少個梯形？

分析最好的辦法是先數出長方形和梯形的總數，再減去長方形的個數，長方形和梯形的總數為

(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63，

長方形的個數為

(1+2+3)×(1+2)=18,

因此，梯形的總數為63-18=45．

學習計數方法不僅能使我們獲得一定的數學知識和方法，更重要的是能使我們感受到數學中的一些重要思想的運用，如數形結合思想、分類討論思想和轉化與化歸的思想，分類討論思想在這里尤其突出．同時，正難則反意識的培養，讓我們體會到：當面臨數學難題時，只要不影響問題的求解，有時可以避其鋒芒，選擇以退為進的策略．