多角度思考 全方位突破——2013年山東省數學高考壓軸題的解法探究

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(滕州市第一中學新校 山東滕州 277500)

多角度思考全方位突破——2013年山東省數學高考壓軸題的解法探究

●趙似花

(滕州市第一中學新校 山東滕州 277500)

2013年高考已經落下帷幕，部分考生認為山東省數學高考理科卷的壓軸題難度很大，直呼“傷不起”.筆者認為這道題內涵豐富，入手較寬，解法靈活，可以從多個方面考查學生的基本知識和基本技能，有很好的區分作用，是值得研究的一道好題.

(1)求橢圓C的方程.

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任意一點，聯結PF1，PF2,使∠F1PF2的平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍.

(2013年山東省數學高考理科試題第22題)

本題考查的內容很多,包括橢圓的方程、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、切線問題，甚至初中的內角平分線定理都有涉及.在圓錐曲線背景下，考查定值、范圍問題也是高考的熱點問題之一.下面筆者從多個角度思考，分析探究這一問題，揭示這一高考試題考查的內容與目的.

1 問題剖析

2.1 第(1)小題剖析

2.2 第(2)小題剖析

第(2)小題涉及到角的平分線，問題比較復雜，筆者著重分析.

思考角度1點P是橢圓C上除長軸端點外的任意一點，聯結PF1,PF2，使∠F1PF2的平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍.點P變化引起∠F1PF2的平分線PM的變化，PM與C長軸的交點M(m,0)與點P的坐標有關.最自然的思路是：利用角分線性質，即點M到PF1,PF2的距離相等，尋求點M(m,0)與點P的坐標之間的關系.

解法1參見本刊第35頁解法1.

圖1

解法2如圖1,在△F1PF2中，由三角形內角平分線定理可得

(1)

整理得

即

又因為-2

思考角度3解法2中求|PF1|,|PF2|時用到的是兩點間的距離公式.考慮到|PF1|,|PF2|是橢圓上一點到2個焦點的距離，若考生了解焦半徑公式，解法2可以進一步簡化.

解法3在△F1PF2中，由三角形內角平分線定理可得

由焦半徑公式可得

代入上式，可得

即

思考角度4解法2中用兩點間的距離公式求|PF1|,|PF2|；解法3中用焦半徑公式求|PF1|,|PF2|.還可以對解法2和解法3進一步優化,只要|PF1|,|PF2|中的一個就可以了.

解法4在△F1PF2中，由三角形內角平分線定理可得

由比例性質可得

(2)

由橢圓定義|PF2|+|PF1|=2a，|MF2|+|F1M|=2c,代入式(2)得

由焦半徑公式可得

思考角度5解法4對解法2和解法3進行了優化，只要求|PF1|,|PF2|中的一個就可以解決問題.還可以進一步優化解法4，不用求|PF1|,|PF2|也可以解決問題.采取的方法是尋求點M(m,0)與|PF1|之間的關系.

解法5在△F1PF2中，由三角形內角平分線定理可得

由比例性質可得

由橢圓定義|PF2|+|PF1|=2a，|MF2|+|F1M|=2c,得

即

故

由橢圓性質可知：點P是橢圓C上除長軸端點外的任意一點，則點P到焦點F1的距離

|PF1|∈(a-c,a+c),

即

于是

得

如果僅僅想到利用角分線性質，即點M到PF1,PF2的距離相等，尋求點M(m,0)與點P的坐標之間的關系，即解法1中的方法，雖然可以解決這一問題，但是運算問題是解決這一問題的攔路虎.反之，如果了解一些數學中的結論,比如：三角形內角平分線定理、比例式的性質、焦半徑公式、橢圓的定義等，那么這一問題的解決就十分容易，可以說是“秒殺”了.而要達到這一層次，就要求考生具有豐富的數學知識的積淀，具有運用所學知識分析問題、解決問題的能力.因而這道試題的區分作用還是很好的.

2.2 第(3)小題剖析

第(3)小題是橢圓中的一個定值問題，涉及橢圓的切線求法，下面剖析這一問題.

思考角度1直線PF1,PF2的斜率k1,k2和點P的坐標有關系，而過點P斜率為k的直線l，與橢圓C有且只有一個公共點，那么直線l就是橢圓的切線，切線斜率k顯然也與點P的坐標有關系.我們可以用點P的坐標作為橋梁，找到k1,k2,k之間的關系，進而解決這一定值問題.

解法1設點P坐標為(x0,y0)，y0≠0,則直線l的方程為

y-y0=k(x-x0),

(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+

由題意知Δ=0,即

即

思考角度2解決曲線上某一點處的切線斜率問題，就是求函數在這一處的導數值，因而考慮用導數作工具解決這一問題.

故

即

從而

即

以下的處理同解法1.

曲線上某一點處的切線斜率問題，如果用解析幾何的基本思路處理，少不了直線方程與曲線方程的聯立和韋達定理，由于方程中存在多個字母，處理過程中還要用到代數式的代換，運算比較復雜，多數學生沒能最終解決這一問題.而如果用導數來處理，則大大簡化了這一運算過程.

2 背景分析

把第(2)小題和第(3)小題的分析稍加推廣，可以得到橢圓的2個性質：

這一性質可以利用第(2)小題中的解法5進行簡單的證明,此處略.

由性質1還可以得到一個推論：

利用解決第(3)小題的導數法，可以方便地求出過點P橢圓的切線斜率，本文不再贅述.由性質2也可以得到一個常用推論：

3 問題的延拓

該高考試題的命題背景是橢圓，而橢圓與雙曲線與很多相似之處，因此也可以把橢圓中得到的這些性質延拓到雙曲線中去.

由性質3還可以得到一個推論：

利用導數法，可以方便地求出過點P的雙曲線的切線斜率，本文不再贅述.由性質4也可以得到一個常用推論：

4 結束語

2013年山東省數學高考理科卷壓軸題以橢圓的光學性質為背景，考查直線與圓錐曲線的基本知識.學生在接受考試的同時，又能感悟到數學知識的內在聯系，體會到數學結論的和諧，這也是這一試題的高明之處吧！