小題目 大思想——2013年浙江省數(shù)學高考亮眼小題目漫談

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(平湖中學 浙江平湖 314200)

小題目大思想——2013年浙江省數(shù)學高考亮眼小題目漫談

●曲文瑞

(平湖中學 浙江平湖 314200)

2013年高考已經(jīng)畫上了句號，可是我們的研究才剛剛開始,高考試卷中總會有一些題目令人耳目一新,回味無窮.若認真去分析全國各地的高考試題，則會發(fā)現(xiàn)有很多好題，而且研究這些典型的、優(yōu)秀的高考試題也可以為以后的教學指明方向.筆者對2013年浙江省數(shù)學高考理科卷進行了研究,感覺其中的幾道小題目相當漂亮,符合好題的標準：入口寬闊，解法多樣；緊扣概念，體現(xiàn)本質(zhì)；立意清晰，背景深刻；條件恰當，結論優(yōu)美；不落俗套，新穎獨特；滲透思想，能力到位.可謂小題不小,無論是試題難度、試題新意，還是數(shù)學思維能力的考查等，都很有研究價值，蘊含多種數(shù)學思想方法.可謂“小題目，大思想”!

1 入口寬泛，解法多樣

( )

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第6題)

此題主要考查三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的關系、二倍角的正切公式等.此題親切自然，條件簡潔，入口寬，解法多樣，內(nèi)涵豐富.

圖1

解法1(定義法即坐標法)如圖1所示，建立平面直角坐標系，設α終邊上任意一點P(x,y)，OP=r,r2=x2+y2.由三角函數(shù)定義知

由已知得

化簡得

3x2+8xy-3y2=0，

兩邊同除x2,得

從而

即

故

點評解法1緊扣概念，只要學生對三角函數(shù)的定義掌握得好，此題就可以很快解決.

解法2(方程思想)由

得

從而

于是

故

(此題還可以利用

點評解法2主要是從同角三角函數(shù)的基本關系入手，構造方程組，直接求解出sinα,cosα.此法學生容易想到.

化簡得

3tan2α-8tanα-3=0，

解得

故

點評解法3利用齊次式可以直接求出tanα，進而求得tan2α.

解法4(引入輔助角)因為

即

或

故

點評解法4主要是利用輔助角公式，解得α與φ的關系，通過φ的正切值求得α的正切值.

( )

(2008年浙江省數(shù)學高考理科試題第8題)

實際上這2道題是同一類型的，2013年的第6題比2008年的第8題更具一般性.

2 立意清晰，背景深刻

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第7題)

此題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義等，立意新穎，背景深刻.

解法1(坐標法)如圖2所示，建立平面直角坐標系，設A(0,0),B(4,0)，P0(3,0)，C(x,y),P(x0,0)(0≤x0≤4),則

由已知得

(4-x0)(x-x0)≥x-3，

即

綜上所述，x=2，即點C的橫坐標為2.又因為AB的中點橫坐標也為2，所以AC=BC.

點評坐標法是解決平面向量問題常用的一種方法，易入手，不過最后轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上二次函數(shù)恒成立問題，討論起來有點繁瑣.

圖2 圖3

解法2(幾何法)如圖3，取BC的中點M，AB的中點N，則

即

點評這種數(shù)形結合的方法顯然比坐標法簡單很多，通過圖形可以直觀感知，能使抽象的數(shù)量關系在圖形上直觀地表達出來，使問題變得簡單.

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第15題)

實際上這2道題目的本質(zhì)也是一樣的，都是運用了

其中點M為BC的中點.

3 不落俗套，新穎獨特

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題)

此題簡潔明了,短小精悍,意圖清晰,而且通俗易懂，解法多樣，入手簡單，且蘊含著豐富的思想內(nèi)涵,符合學生的認知水平.

圖4

解法1(坐標法)如圖4所示建立平面直角坐標系，設C(0,0)，A(y,0)，B(2,0),則M(1,0).設∠BAM=α，∠MAC=β,則

即

點評解法1從同角的三角函數(shù)關系及角的代換入手，比較容易想到，符合學生的認知基礎.

解法2(構造直角三角形)如圖5，設AC=x，BC=2，設∠BAM=α，∠MAC=β，MD⊥AB,則

圖5

即

點評因為在直角三角形中，正弦值等于對邊比斜邊，所以很容易想到作垂線，構造直角三角形，把∠BAM放在直角三角形中求解.上述解法2和下面的解法3都是構造直角三角形進行求解.

從而

圖6

解法4(正弦定理)如圖6，設BC=2，AC=x，∠BAM=α，則

在△BAM中，由正弦定理得

即

點評已知正弦值、求正弦值，正弦定理也較容易想到，故只需設邊長，即可解決.

4 滲透思想，能力到位

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

此題的立意非常清晰，主要考查了平面向量的基本定理、坐標表示、數(shù)量積、幾何意義等，而且滲透了多種數(shù)學思想方法，能力考查非常到位.

從而

當x≠0時，

故

t∈[0,2].

點評解法2是通過引入?yún)?shù)t建立方程，進而轉(zhuǎn)化為求參量t的最大值的問題.難點也是如何“減元”，如何把多變元問題轉(zhuǎn)化為單變元問題，從而利用一元二次方程有解的思想構造不等式，利用判別式法求出參量t的取值范圍.

以下同解法1.

點評由平面向量基本定理知,b=xe1+ye2,故|b|=|xe1+ye2|,代入即可.

圖7

2sin∠OED≤2.

點評解法4利用平面向量的四則運算、平行四邊形法則及其幾何意義構造三角形，利用正弦定理把邊的比轉(zhuǎn)化為角的正弦值之比，突出考查了對問題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結合的能力.

類似題已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題)

實際上這2道題是一樣的，都可以利用上述幾種方法解決，利用正弦定理尤為簡單.

解后反思通過對2013年浙江卷這4道題的研究，不禁會發(fā)出“小題不小”的感嘆！這些試題蘊含了高中階段主要的數(shù)學思想方法，筆者作了以下反思，為今后的教學尤其是高三數(shù)學復習作準備：

(1)高三復習時應由“雙基”到“四基”轉(zhuǎn)變.

“雙基”：基礎知識、基本技能；“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.

從以上的4道題目我們也可以發(fā)現(xiàn)，高中階段重要的數(shù)學思想方法的四大育人功能在2013年浙江省數(shù)學高考理科卷中都有體現(xiàn).由此可見，在教學中關注數(shù)學思想方法、在教學中滲透數(shù)學思想方法十分重要.當然，這些數(shù)學思想不是孤立的，而是互相滲透的，有意地去體會并運用這些數(shù)學思想，才能抓住解題的核心和本質(zhì)，站得高才能看得遠，才會起到事半功倍的作用.

(2)研究高考試題，探究試題背景，提升思維能力.

在課堂教學中，以高考試題為載體，可以有效提高高三復習課效率.因為高考試題是命題者潛心研究、匠心獨運、精心設計的精品，具有很高的練習、研究價值.近幾年，全國試題和部分省市自主命題更是讓試題如串串珠璣，精彩紛呈，構筑起一座豐厚的試題寶庫.將高考試題恰當?shù)匾敫咧袛?shù)學的教與學，通過高考試題的引領，讓學生注重解題的通性通法，淡化特殊技巧，注意數(shù)學概念、數(shù)學本質(zhì)和解決數(shù)學問題的常規(guī)方法.通過一題多解、多題一解，多角度揭示問題本質(zhì)，拓寬解題思路.這樣，不僅可以激發(fā)學生的學習和研究興趣，而且可以達到培養(yǎng)學生思維能力的目的,從而提升教學的有效性.如本文中的這4道題目，其中有3道題目是與前幾年浙江卷中的試題背景相似.可見，研究高考試題意義重大.

近幾年浙江省的高考試題加大了對學生探究能力、創(chuàng)新能力、思維能力的考查，“題海戰(zhàn)術”收效甚微.因此，若教師在平時的教學中能對這些構思巧妙、內(nèi)涵豐富的高考試題進行精心研究，探究其背景，并進行適當拓展和創(chuàng)新，可以更好地理解課程標準、掌握命題趨勢、把握高考的重難點，從而更好地提高備考質(zhì)量、復習效果.