平而不俗 兼收并蓄——一道高考解三角形小題的賞析

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(湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000) (大連理工大學 遼寧大連 116024)

平而不俗兼收并蓄——一道高考解三角形小題的賞析

●王勇強●陳坤杰

(湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000) (大連理工大學 遼寧大連 116024)

1 問題提出

2013年浙江省數學高考理科卷第16題如下：

初識此題，覺得這道填空題很常規、普通.主要考查正、余弦定理、三角形面積公式及三角運算等基礎知識，同時還考查運算求解能力.該題是填空題的倒數第2題，難度設置為中檔，但從考生感覺及閱卷結果來看，許多考生不會做或給出了錯誤的答案，得分之低出人意料.于是筆者靜下心仔細思考，再細品此題，忽然產生了一種新的感覺，覺得此題簡約而不簡單、平而不俗、兼收并蓄，重在考查學生思維的靈活性和深刻性.此題極像一位內蘊豐富的淑女，正在靈巧地撥動琴弦，優美的琴聲激起你的思緒.你只要給她細細整妝梳理，她就能顯現出光彩照人、內涵豐富的一面.本題的題源在哪里？有哪些解法？它難在哪里？對我們的日常教學有何啟示？下面筆者將逐一探討.

2 追根溯源

人教A版《數學》必修4第3章“三角恒等變換”的章頭圖中給出了一個測電視發射塔高度的問題，該問題的圖與這道高考試題非常相似，已知條件也很相似，只是所求的目標有所區別.課本章頭圖的問題是求邊長，而高考題是求角的正弦值,實際上只要求出任意2條邊的邊長比例關系，所求角的正弦值就水到渠成了.另外，人教A版《數學》必修5第1章“解三角形”中不少測距離的問題與此高考題神似，比如第13頁的例3、例4，第15頁的練習題3以及第19頁的習題4，復習參考題A組第5題．由此可知，此高考填空題的題源是課本上的測距問題，它高度提煉了課本上例題、習題的精髓.此高考填空題題干平和、簡潔卻保留測距問題的本質，將解三角形的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式和三角恒等變換、平面向量等兼收并蓄，縱橫聯系，做到簡約而不簡單、平而不俗．這樣設計試題體現了命題者的別具匠心.

圖1

3 解法賞析

分析如圖1，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.因為∠C=90°，所以要想求出sin∠BAC的值，只需根據條件找到a,b,c中任意2條邊的比例關系即可.不妨設b=1，由已知條件可得

則

解法1(利用正弦定理)在△ABM中，

從而

在△ABM中,

解法3(利用三角形面積公式)由三角形面積公式可知，

解法4(利用三角恒等運算)因為∠BAM=∠BAC-∠CAM,所以

tan∠BAM= tan(∠BAC-∠CAM)=

所以

圖2

評注上述5種解法，思路清晰明了，過程自然流暢，緊扣正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎知識，并能靈活運用三角變換、平面向量的數量積運算解決問題.方法的多樣性體現了對考生運算能力的考查中包含了對思維能力、思維品質的考查.特別是解法3利用三角形面積“算兩次”、解法4利用兩角差的正切公式、解法5利用平面向量的數量積等來建立有關邊與角的等量關系，不僅能簡化運算、揭示問題的本質，還可以開闊學生的數學思維、激發學生學習數學的興趣.本題的多種解法充分發揮了數學“多元聯系表征”的特點，從不同角度切入，應用不同的數學工具，呈現出同樣的精彩，給人以美的享受.

4 教學啟示

盡管新課改對三角函數板塊的教學要求有所降低，且一直有“三角無難題”之說，但從多年來各類檢測和本次高考學生的得分情況來看，這類試題得分率并不高，部分學生對三角概念公式的理解也不到位，實際掌握程度低.雖然前面所述的5種解法思路是自然的，只要掌握課本的基礎知識、考試說明中要求的基本思想方法就能順利求解此題，并不需要什么特殊技巧.但還是有相當一部分學生在此題答題情況中暴露出基礎知識薄弱、解題目標意識不強、轉化意識淡薄、公式運用僵化、運算能力欠佳等問題.此題帶給我們的啟示是深遠的，數學的基礎知識、基本思想方法、基本技能、基本活動經驗的重要性再一次得到詮釋，通性通法的意識和掌握程度是必須提高的.在今后的教學中應注意以下幾個問題.

(1)夯實基礎，回歸教材.在新課教學中要注重基礎知識、基本概念的形成過程，加強過程教學，讓學生主動參與到新知識、新概念的建構過程中來，盡可能讓學生親自探索、發現新知.教師在解題過程中要養成“回到基本概念中去”的解題習慣，從而引領學生夯實基礎，熟練運用課本知識解決“基礎題”.在復習階段，回歸課本既是“以不變應萬變”的復習策略，又是提高備考效率的有效途徑.復習教學要站在系統與結構的寬度、思想與方法的深度、聯系與區別的高度去把握課本中的概念、定義、定理、公式、例題、練習題等，多延伸拓展、強化變式教學才能更有效地提高復習效率.因此，夯實基礎，回歸教材依然是我們平時教學和復習備考的主要內容.

(2)立足通性通法是浙江省數學高考命題一直延續的特點，在平時復習時要注重“題不在多，理解則靈”，特別是要重視對各章節知識中通性通法的復習和掌握,要切實淡化特殊技巧.前面所述的5種解法的本質是溝通三角形的邊與角的關系，不管是用正弦定理還是余弦定理、向量的數量積公式等都是解決此類問題的基本方法.堅持通性通法，不僅能不斷地將學生的思維引向數學的基本概念和基本思想，使學生養成良好的思考習慣，以“不變”的思考問題的出發點來應對“萬變”的數學題目，才能擺脫題海，事半功倍.注重通性通法才是好的數學教學.

(3)在教學過程中要加強培養學生的轉化意識與方法，同時注意擴展學生的視野，增加學生的見識，提升綜合運用知識的能力.解題教學中，教師要善于引導學生真正參與思維活動，學習如何讀題、分析題意，如何進行多元聯系、多角度轉化，如何研究已知與未知的關系，獲得解題的思路，如何實施并適時調整.每解完一題，要學會總結與反思，都要力求對數學概念和解題規律有所加深，在轉化的意識與方法上有所提高，達到會做一題就會做一片題目，在解題中學會解題，真正提高教學效率.這種良性循環定能為學生謀取更廣大的長遠利益，真正發揮數學教學的育人功能.