巧用極化恒等式 妙解一類向量題

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(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310006) (杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

巧用極化恒等式妙解一類向量題

●王紅權李學軍●朱成萬

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310006) (杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

綜觀近幾年數學高考，向量試題有著越來越綜合、越來越靈活的趨勢．因而解題方法和解題工具的選擇顯得尤為重要，選擇不恰當，費時、費力，且不得要領；選擇恰當，題目可以“秒殺”．“極化恒等式”就是可以“秒殺”高考向量題的一個有力工具．

1 高考題及妙解

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

分析考生普遍反映該題無從入手，筆者認為主要原因有2個:(1)該題呈現方式比較新穎;(2)學生解題工具使用不當．

下面給出一種妙解：

解如圖1，取線段BC的中點M，則

圖1 圖2

2 妙解的來源

其實這一妙解，只是用到了一個工具——“極化恒等式”，即：

極化恒等式設a，b是2個平面向量，則成立恒等式

有時也將式(1)寫成

4a·b=(a+b)2-(a-b)2．

注式(1)表明向量的內積運算可以由向量線性運算的模導出(也是向量內積的另一種定義)，是溝通向量內積運算和線性運算的重要公式．若a，b是實數，則恒等式(1)也叫“廣義平方差”公式．

3 高考題的歷史線索

其實，用“極化恒等式”可以“秒殺”一系列高考向量題，筆者列舉幾例如下．同時，這些題目也可以看作是例1發展的歷史線索．它們分別是：2013年浙江省高中數學競賽第5題(與2013年浙江省數學高考第7題如出一轍),2012年浙江省數學高考第15題(用極化恒等式解決的經典范例),2011年上海市數學高考第11題(極化恒等式的直接變式范例),2008年浙江省數學高考理科第9題(極化恒等式的變式使用),2007年天津市數學高考文科第15題(題目的最初原型)．

( )

A.C0M⊥AB

B.C0M⊥l，其中l是拋物線過C0的切線

C.C0A⊥C0B

D.C0M=AB

(2013年浙江省高中數學競賽試題第5題)

分析該題無論從形式還是內涵與2013年浙江省數學高考試題第7題都是一樣的.事實上根據“極化恒等式”，有

需要說明的是，命題組并沒有說明l是一條什么樣的直線,其實直線l是：當以定點M為圓心的圓與拋物線y2=4x相切時的公切線．

(2012年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析該問題就是利用“極化恒等式”解決的極佳范例．因為

62-102=-64,

(2011年上海市數學高考試題第11題)

分析這是極化恒等式的直接變式范例．

設BD的中點為E，則

例5已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量．若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題第9題)

分析本題從表面上看似乎和“極化恒等式”并沒有關系，事實上，根據“極化恒等式”有

4(a-c)·(b-c)= [(a-c)+(b-c)]2-

[(a-c)-(b-c)]2,

圖3

從而

事實上，類似的問題時有看到，只是很多時候用其他的方法取代了“極化恒等式”，或在無意中使用“極化恒等式”．

(2007年天津市數學高考文科試題第15題)

解根據“極化恒等式”有

本題的解決涉及到三角形的邊及中線的關系，這可以看作是2013年浙江省數學高考試題第7題的最初原型．

4 從平面到空間

實際上，“極化恒等式”在空間中同樣可以發揮作用，下面舉2個例子．

(2013年浙江省湖州市高三數學二模試題)

解設球心為O，球半徑為R，則R=1，根據“極化恒等式”,得

(2013年北京市朝陽區高三數學二模試題)

解設AC的中點為M，根據“極化恒等式”得

用極化恒等式“秒殺”有關向量試題，不論是平面還是空間，還有更多的案例,限于篇幅，不再舉例．最后，筆者要說的是，我們研究用極化恒等式“秒殺”一類高考向量試題，并不是追求高難度的解題技巧，而是著意解題工具的選擇，著意于數學問題的理解，揭示問題的本質，看出題目的結果．