浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何試題的剖析和思考

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(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何試題的剖析和思考

●章顯聯(lián)應(yīng)國(guó)剛

(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

1 閱卷概況

筆者參加了2013年浙江省數(shù)學(xué)高考網(wǎng)上閱卷的評(píng)卷工作，高考評(píng)卷分為試評(píng)和正式評(píng)卷2個(gè)步驟.首先是試評(píng)，先由每道題的組長(zhǎng)講解該題可能出現(xiàn)的解法及每一種解法的評(píng)分細(xì)則，然后由每道題的閱卷者進(jìn)行網(wǎng)上試評(píng)，每一份試卷的每一道題最少要經(jīng)過(guò)2個(gè)人背對(duì)背批改.在此過(guò)程中閱卷者需達(dá)到2個(gè)統(tǒng)一：(1)統(tǒng)一解法.通過(guò)試評(píng)，各位閱卷者把試評(píng)卷中出現(xiàn)的新解法都匯總給組長(zhǎng)，然后組長(zhǎng)又統(tǒng)一講解解法的邏輯性與正確性，從而使每一位閱卷者對(duì)每種解法都做到心中有數(shù)，避免考生解答正確,閱卷者錯(cuò)評(píng).(2)統(tǒng)一評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).解答題的取卷方式是由電腦隨機(jī)給2位閱卷者的,筆者被分配到的題是理科卷第20題(立體幾何試題).若2位閱卷者給出的分?jǐn)?shù)相差2分以上，則需組長(zhǎng)或副組長(zhǎng)等3～4位教師仲裁，2位閱卷者給出的分?jǐn)?shù)無(wú)效.下面筆者就所批閱的立體幾何試題進(jìn)行一些總結(jié)和反思.

2 試題回顧

2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題是一道立體幾何題，主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及二面角、空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

圖1

(1)證明:PQ∥平面BCD;

(2)若二面角C-BM-D的大小為60°,求∠BDC的大小.

3 試題剖析

3.1 第(1)小題解析

本小題要證明的線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行或面面平行，或利用空間向量(建立空間直角坐標(biāo)系或用基底法).

證法1如圖2，取O為BD中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)D=3CF,則QF∥AD，且2QF=MD.又PO∥MD且2PO=MD,故QFOP為平行四邊形，PQ∥OF,因此PQ∥平面BCD.

圖2 圖3

證法2如圖3，取MC中點(diǎn)R，AC中點(diǎn)S，則QR∥SM.因?yàn)镾M∥CD，所以QR∥CD.又因?yàn)镻R是△MBC的中位線，所以PR∥BC，從而

△PQR∥△BCD，

于是

PQ∥△BCD.

證法3取W為MD的中點(diǎn)，則WA=3WD.因?yàn)锳Q=3QC，所以QW∥CD.又因?yàn)镻W是△MBD的中位線，所以PW∥BD，從而

△PQW∥△BCD,

故

PQ∥△BCD.

證法4延長(zhǎng)AP交BD于點(diǎn)N，可以證明AP=3PN.因?yàn)锳Q=3QC，所以PQ∥NC,故PQ∥△BCD.

圖4

證法5如圖4，延長(zhǎng)MQ與DC延長(zhǎng)交于點(diǎn)X，可以證明點(diǎn)Q為MX的中點(diǎn).在△MBX中，PQ為△BMX的中位線，從而PQ∥BX，故PQ∥△BCD.

證法7(解析幾何法)建立直角標(biāo)系，點(diǎn)O的z軸坐標(biāo)為0.5,PQ∥平面BCD.

第(1)小題出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：

(1)建系錯(cuò)誤，比如以D為原點(diǎn)，以DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)證法1中只證明PO∥QF就得出四邊形POQF為平行四邊形.

(3)線面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理掌握錯(cuò)誤，如由PR∥BC得出△PQR∥△BCD.

3．2 第(2)小題解析

本小題正確解法有：

圖5

解法1如圖5，作出二面角的平面角∠HGC,求出二面角的平面角或證明CG⊥面ABD或等價(jià)形式.設(shè)∠CDB=θ,則

故

θ=60°.

解法2解析幾何法(給出3種建系法).

(1)如圖6，以O(shè)為原點(diǎn)、BD為y軸(或者以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、BD為y軸)建立坐標(biāo)系.設(shè)平面BMC的法向量為m，則

又平面BMD的法向量為n=(1,0,0),從而

圖6 圖7

(2)如圖7，以C為原點(diǎn)、CD為x軸、CB為y軸建立坐標(biāo)系.平面CMB的法向量為m=(-1,0,x0),平面DMB的法向量為n=(y0,x0,0),從而

(3)以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系求解(略).

解法3利用面積射影定理求解(略).

第(2)小題的出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：

(1)利用幾何法不能正確作出二面角C-BM-D的平面角.

(3)建坐標(biāo)系錯(cuò)誤.

此外，還有部分考生有大篇幅涂改、刪除現(xiàn)象.這固然是考試時(shí)的緊張心理所致，但答題時(shí)草率上手，匆匆讀完題后就急于答題，對(duì)題意不求甚解，思考不充分，必然會(huì)出現(xiàn)漏寫(xiě)、多寫(xiě)、錯(cuò)寫(xiě)等各種錯(cuò)誤，只好大面積涂改.

3．3 評(píng)分再現(xiàn)

本題的評(píng)分策略如下：

3.3．1 注重方法，能給分時(shí)就給分

3.3．2 緊抓關(guān)鍵，推理到位少扣分

如為證明線面平行要化為面面平行，而證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵要體現(xiàn)2條相交直線分別平行，然后下結(jié)論，這樣得滿分(6分).若只有一對(duì)直線平行，說(shuō)明面面平行得2分，若沒(méi)有得出結(jié)論扣2分.

4 教學(xué)啟示和思考

針對(duì)該題的特點(diǎn)、考查意圖以及考生在答題中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，建議高中數(shù)學(xué)的教學(xué)、復(fù)習(xí)應(yīng)重視以下幾個(gè)方面.

4．1 強(qiáng)化系統(tǒng)知識(shí)，提升思維水平

立體幾何中涉及的概念、性質(zhì)和定理比較多，但知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也比較緊密.學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中要注意歸納和概括，對(duì)知識(shí)點(diǎn)準(zhǔn)確把握，掌握對(duì)一類題目的常規(guī)解法，高考復(fù)習(xí)時(shí)更要不斷總結(jié)反思，強(qiáng)化系統(tǒng)知識(shí)，教師則可以運(yùn)用概念圖或其他的知識(shí)框架幫助學(xué)生梳理知識(shí)、形成系統(tǒng)，把空間圖形的基本位置關(guān)系以及判定定理和性質(zhì)定理編制成網(wǎng)絡(luò).同時(shí)，還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，善于用不同方法解題，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問(wèn)題的能力，提升思維水平，這也從另一個(gè)方面強(qiáng)化了知識(shí)結(jié)構(gòu).圖8是立體幾何定理模型集體合影：

圖8

4．2 重視能力培養(yǎng)及解法的應(yīng)用，促進(jìn)縝密思維

立體幾何的教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及邏輯推理能力.學(xué)生在學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)已經(jīng)形成了初步的邏輯推理能力，但立體幾何中定理的運(yùn)用條件相對(duì)平面幾何較多，也較為復(fù)雜，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)、適當(dāng)示范，并注意通過(guò)不準(zhǔn)確或錯(cuò)誤推理案例的警示來(lái)強(qiáng)化推理語(yǔ)言的敘寫(xiě)，逐步使學(xué)生養(yǎng)成縝密的推理習(xí)慣.解決立體幾何題主要有2種方法:幾何法和向量法.向量法自然地把幾何問(wèn)題代數(shù)化,因而在立體幾何的學(xué)習(xí)中還要強(qiáng)化向量法.

4．3 夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，重視解題細(xì)節(jié)

“基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖”.教師應(yīng)重視常規(guī)基礎(chǔ)題的練習(xí)，示范解題要規(guī)范,關(guān)鍵步驟要突出,從不起眼的解題細(xì)節(jié)抓起.只有夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生的基本知識(shí)和基本技能才能喚起高層次的數(shù)學(xué)思維，才能解決更難的問(wèn)題，很多學(xué)生在高考復(fù)習(xí)時(shí)一味追求難題、偏題，疏于對(duì)基礎(chǔ)題的練習(xí)和敘寫(xiě)，結(jié)果在考試中反而容易出錯(cuò)，這是本末倒置的.細(xì)節(jié)決定成敗，學(xué)生在答題過(guò)程中應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，穩(wěn)步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4．4 優(yōu)化課堂教學(xué),創(chuàng)造高效的復(fù)習(xí)課

教師要改變復(fù)習(xí)課容量過(guò)大，盲目拔高；要改變例題講解后沒(méi)有解題回顧反思；要改變課堂模式單一，熱衷冷飯重炒.復(fù)習(xí)課要留有空間、時(shí)間讓學(xué)生思考、說(shuō)題.

總之，立體幾何知識(shí)一直是高考的主干知識(shí)，是高考重要考查的內(nèi)容之一.學(xué)生必須熟練掌握常見(jiàn)的題型及解題方法，對(duì)常見(jiàn)的空間幾何模型要能從中尋找解題突破，同時(shí)重視推理的邏輯性、嚴(yán)密性，確保推理語(yǔ)言的正確無(wú)誤.