把握“長度”“方向”兩要素 尋求“代數”“幾何”雙突破——話說數學高考平面向量題的快速破解藝術

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(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

把握“長度”“方向”兩要素尋求“代數”“幾何”雙突破——話說數學高考平面向量題的快速破解藝術

●蔣海甌

(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一．平面向量自進入高中數學新課程以來，就以其具備“長度”與“方向”兩要素，兼具“代數”與“幾何”雙形態，成為高中數學的重點內容與主干知識，成為實施數形結合的有效工具，成為檢測學生思維能力和綜合素養的重要素材，因而備受高考命題者的青睞與厚愛，成為近10年來每年高考必考的一個熱點問題，并在考查力度上有日漸加強、加深、加大之態勢．

近幾年高考時常呈現“富有創意、獨具魅力、難度適中”的平面向量試題，成為高考數學試卷中的一大亮色．這類試題仔細分析起來其實并不難，但學生求解起來卻很繁瑣．例如：2013年浙江省數學高考理科卷第7題，相當多的學生投放了大量的求解時間、進行了大量的推算(有些學生據此還不得其解)，許多學生甚至發出了這道平面向量題運算量怎么這么大的感嘆聲，嚴重影響了后續題目的求解，時間的投入與效益的產出極不相符，這不免引起了我們深深的警覺！為此，我們有必要探尋與闡述求解高考數學平面向量題的策略水平和快速破解藝術！

1 解決長度問題

快速破解藝術1:解決長度問題(指求解向量的模)，采用平方轉換(即平方化)，常可巧奪天工，直達目的.

向量是一個既有“大小”(長度或稱為模)又有“方向”的量．求解向量的長度(即向量的模)或模的取值范圍是歷年數學高考中的常見題型，而許多高考試題也常常涉及或用到有關向量模的確定與求解．解決此類問題，按題設給定的條件，直接地去求解向量的模往往不太方便.采用|a|2=a2(由a2=a·a，實質上是將向量的模轉換成向量的數量積來處理)的方法，運用這種“平方化”的迂回戰術，將向量模的問題轉化為簡單的向量數量積的計算來轉換求解，可巧妙化解．

(2013年浙江省數學高考文、理科試題)

速解由|b|2=b2=x2+y2+2xye1e2=

得

由y∈R得

Δ=3x2-4(x2-|b|2)≥0,

點評這里特別地利用了|a|2=a2這一技巧，自然、順利、快速地破解了該填空壓軸題．

(2012年全國數學高考新課標卷理科試題)

分析這里直接去尋求|b|將難以入手，不便操作.先對題設中的條件進行分析變換，“平方化解”是良策．

(2a-b)2=10，

展開得

4a2+b2-4ab=10，

從而

4+|b|2-4|b|cos45°=10，

故

點評在求解與向量的模有關的問題時，養成運用|a|2=a2求解的思想意識與解題習慣，可以達到“巧取豪奪”之效果，其操作簡便易行，卻能大大地節約解題的時間成本．

2 計算數量問題

快速破解藝術2：計算數量問題(如向量的數量積)，先用基本定理(或回路法)，常能另辟蹊徑，快速便捷.

平面向量基本定理(同一平面內的任一向量都可表示為該平面內的2個不共線向量的線性組合)是平面向量的重要定理，它為平面向量間的運算與變換提供保障，更為向量運算數量化、代數化提供理論依據．運用平面向量基本定理，選取恰當的“基底”是關鍵．為便于操作與變換，我們常常采用向量的“回路法”變換(回路即指幾個首尾相連的向量構成一個封閉圖形，即“回路圖”)，將未知、難求的向量轉化為已知、易求的向量．近幾年高考中有關平面向量數量積的考題，直接運用數量積公式常常很難求解甚至不能求解，而先用“回路法”進行向量間適當的變形與變換，卻能暗渡陳倉，快速獲解．

(2013年天津市數學高考文、理科試題)

速解如圖1，

得

點評運用向量基本定理，選取合適的基底很重要．回路法是選擇基底的一種簡明而有效的方法．

圖1 圖2

(2012年浙江省數學高考文、理科試題)

分析鑒于問題的一般性，此題較為適合的求解方法是特殊化：即把三角形看成等腰三角形，以求快速地得出結論．此時，

由余弦定理，得

速解如圖2，

點評本題若采用“特殊化”再加“坐標化”(建立直角坐標系)，求解當然非常地簡明快捷，此處從略．

3 方向確定問題

快速破解藝術3：方向確定問題(指向量方向明確)，找尋幾何模型(即幾何化)，常顯別樣天空，簡明迅捷.

向量的加法、減法、數乘等線性運算都有著明確的幾何意義(向量的加法遵守平行四邊形法則或三角形法則，向量的減法遵守三角形法則，向量的數乘與原向量共線，它們都有著明晰的幾何模型)，向量a,b的數量積a·b也可看成是向量a的模|a|與向量b在a方向上的射影|b|cosα的乘積．平面向量兼具“代數”與“幾何”的雙重身份，平面向量問題的思考要善于從“數”與“形”的結合和轉化入手，尤其關注向量方向的確認，使平面向量的有關問題回歸為平面幾何的常見問題，從而直觀明晰，迅捷破解．

例5已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

分析按照本題提供的題設條件，求解一般會按以下思維過程運行：

因為β=α+(β-α),所以

β2=α2+(β-α)2+2α(β-α).

由|β|=1,α與β-α的夾角為120°,知

1=|α|2+|β-α|2-|α|·|β-α|,

從而 |β-α|2-|α|·|β-α|+|α|2-1=0.

這個關于|β-α|的一元二次方程有實根，從而

Δ=|α|2-4(|α|2-1)≥0,

得

又因為|α|>0,所以

該求解過程比較繁瑣，而且求解有一定的技巧性，一般學生即使想到了也不一定能將運算進行到底．

圖3

故

點評這里依據向量減法的幾何意義，找到了問題的幾何模型，將平面向量問題巧妙地轉化成為平面幾何中的基本圖形——三角形，從而使考題的求解不僅直觀清晰，而且簡單易行，令人賞心悅目．

例6已知a,b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題)

分析按照題目的表面特征，直接求解本題，考生一般采用下面的解法(即常規解法)：

因為(a-c)·(b-c)=0,所以

a·b-a·c-b·c+c2=0,

從而

a·b=0

即

c2=(a+b)·c,

因此

|c|2=|(a+b)·c|≤|a+b|·|c|.

所以

即

于是

故選C．

該解法直接運用向量的運算法則，逐步推進，不斷深化，并且要運用向量的重要性質|a·b|≤|a|·|b|進行轉化，從而把等式問題轉變為不等式問題，最后解一元二次不等式而獲得本題的答案．這種解法過程冗長，小題大做，求解需要大量的時間，推演過程還有一定的難度，就選擇題而言，并不合算．

圖4

故選C．

點評這里通過對題設條件的剖析，采用數形結合的思想方法，將向量問題幾何化，把復雜的考題即刻轉化為平面幾何中的基本圖形——圓內接四邊形問題，問題的求解與答案的獲取如同“囊中取物，手到擒來”，變得自然、流暢而簡單．

4 向量問題坐標化

快速破解藝術4：向量問題坐標化(即代數化)，是解決平面向量題的通用之法，更是破解平面向量題的便捷之策.

圖5

向量的坐標表示實際上是向量的代數表示,引入向量的坐標表示可以使向量的運算完全代數化，同時將“數”與“形”更加緊密地結合起來．實際上向量的加、減、數乘、數量積運算，向量的平行(共線)、垂直關系，向量的長度(模)、夾角都可以用坐標來表達．向量問題坐標化，不僅可以把有關平面向量考題的求解轉化為學生熟知的數量運算，而且運算過程非常簡潔．我們要充分發揮向量坐標法這一求解平面向量題的通用之法和便捷之策，著力增強破解平面向量題的速度和效率．

(2013年北京市數學高考理科試題)

分析本題直接從圖形中尋找a,b,c之間的線性關系，有一定的難度而且稍有不慎便容易犯錯．但正方形網格為我們將向量圖形問題坐標化(即代數化)打開了方便之門，更為本題的求解尋找到了簡潔之法．

速解以a,b的交點為原點建立直角坐標系，則

a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).

由c=λa+μb，得

-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,

從而

故

點評這里通過建立適當的直角坐標系，將平面向量代數化，把平面向量問題轉化為方程或函數問題，使問題的求解變得更容易把控與便捷．

例8已知a,b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍為

( )

(2013年湖南省數學高考理科試題)

分析本題直接由|c-a-b|=1出發求解需要用不等式的有關性質，而且求解過程繁雜而冗長．而將|c-a-b|=1兩邊平方處理，也會帶來復雜的運算過程．而題設條件a⊥b，為我們用坐標法求解提供了契機與方便．

速解由a·b=0,得a⊥b，分別以a,b為x軸、y軸建立直角坐標系，則

a=(1,0),b=(0,1),a+b=(1,1).

設c=(x,y),由|c-a-b|=1,得

(x-1)2+(y-1)2=1,

故c的軌跡是以(1,1)為圓心、1為半徑的圓，從而

點評這里通過坐標化，將平面向量考題轉化為我們熟悉的、便于操控的單位圓問題，從而一望而解，一舉突破．

求解高考數學平面向量題，要善于通過以形助數(幾何化)或以數解形(代數化)的雙重突破，促使“復雜問題簡單化，抽象問題具體化”，從而實現優化解題過程，提高解題效率的美好追求！

[1] 蔣海甌.平面向量的交互性[J].中學教研(數學)，2007(3)：5-9．