峰高方顯谷深 一山自有一景——2013年浙江省數(shù)學高考理科卷第18題閱卷體會

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(金華市第一中學 浙江金華 321015)

峰高方顯谷深一山自有一景——2013年浙江省數(shù)學高考理科卷第18題閱卷體會

●金建軍

(金華市第一中學 浙江金華 321015)

2013年高考已落下帷幕，社會各界對浙江省數(shù)學高考試題的評價眾說紛紜.筆者的總體感受是“變化不大、穩(wěn)定持重，經(jīng)典頻現(xiàn)、適度創(chuàng)新”.試題在命題立意、試題結構、材料選取、語言表述、知識點考查等方面都呈現(xiàn)了這一特點.筆者有幸參加了2013年數(shù)學高考閱卷工作,下面就理科卷第18題進行評析，談一些體會與思考,與讀者共饗.

例1在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.

(1)求d,an；

(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

1 卷土重來未可知——意外

自2009年浙江省開始實行新課標高考以來,至今已5年.其中前3年理科卷解答大題一般都是三角函數(shù)、概率期望、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)五大主干知識，2011年則以數(shù)列大題替換了概率題，2012年又重復原有情況，2013年是繼2012年數(shù)列題“退出江湖”后再次“卷土重來”,實為意料之外，情理之中.表現(xiàn)為:

師生普遍認為2013年仍將是以數(shù)列代替概率且以大題形式出現(xiàn),結果理科試卷中三角函數(shù)不作為單獨的解答題考查，從而造成這些意外.這說明浙江高考穩(wěn)中有變,啟示我們平時要扎實地做好每個知識點復習，而不是猜測高考考什么.其實,高考對三角、數(shù)列、概率的考查通常歸入容易題的范疇,以小題(主觀題)的形式考查居多，這種輪轉有助于保證主干知識的核心地位和重點考查，也在情理之中.

2 眾里尋她千百度——探源

本題背景敘述簡潔，具有高考試題概念清晰、思維深刻、解法多樣等特點，“入手容易深入難”，由“知識立意”轉化為“能力立意”，意蘊深邃，平淡之中顯新意.試題源于課本,活于教材,命題常規(guī).這些試題對學生來說具有“親切感”，對教學有積極的導向作用：引導教師在高三復習教學中重視教材、研究教材，不搞“題海”.與之相似的平時常規(guī)練習題例舉如下：

例2已知數(shù)列{an}，滿足an=|32-5n|，求此數(shù)列前n項的和Sn．

變式已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=10n-n2，又bn=|an|，求{bn}的前n項和Tn.

(2003年浙江省數(shù)學會考試題)

然而閱卷后卻讓我們痛惜不已:考生答題不甚理想,與命題者的期望值有一定距離.那么,這道試題有哪些特點?考生解答時有哪些典型錯誤?產(chǎn)生這些錯解的根源在哪里?針對以上這些,有哪些備考建議?

3 他山之石可攻玉——借鑒

3.1 命題意圖

本題緊扣高考考試說明，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項公式、求和公式等基礎知識，同時考查運算求解能力.

3.2 解法分析

浙江省考試院提供的參考答案為：

解法1(1)由題意知5a3·a1=(2a2+2)2，

即

d2-3d-4=0，

故d=-1或d=4，從而

an=-n+11或an=4n+6(n∈N*).

(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn．因為d<0，由第(1)小題得d=-1，an=-n+11，所以

①當n≤11時，an≥0,從而

②當n≥12時，an≤0,從而

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=

綜上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=

該解題有一個關鍵點:a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列,如何列式代入化簡；一個難點:如何對|an|去絕對值進行分類討論.

學生的普遍解法如下：

解法2(1)略.

(2)由第(1)小題知,當d<0時,an=11-n.

①當1≤n≤11時,an≥0,從而

|a1|+ |a2|+|a3|+…+|an|=

②當n≥12時,an≤0,從而

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=

a1+a2+a3+…+a11-(a12+a13+…+an)=

2(a1+a2+a3+…+a11)-(a1+a2+a3+…+an)=

在閱卷中第(1)小題關于d的方程形式有：

①5(a1+2d)·a1=(2a1+2d+2)2；

③484+88d+4d2=500+100d；

④4d2-12d-16=0．

第(2)小題分類討論的形式有：

①分為1≤n≤11(n<12)和n≥12；

②分為1≤n≤10和n≥11等.

當n≥12時，Sn的可能形式有：

這些都作為正確結論，體現(xiàn)人文關懷.

4 山重水復疑無路——析誤

4.1 難度值

本題平均得分為9.8左右，難度系數(shù)在0.7左右.

4.2 主要錯誤

學生出現(xiàn)的主要錯誤有以下幾種情況：

對于第(1)小題：

①概念錯誤：對于3項成等比數(shù)列，學生不知道如何表示或表示錯誤，少數(shù)學生本題得分為0；

②公式記錯：如當an=a1+(n-1)d寫成an=a1+n(n-1)d；

③化簡錯誤：不能將式子化為d2-3d-4=0，有些學生解方程有誤，解為d=1或d=-4；

④書寫錯誤：如d=-1時將an=a1+(n-1)d=11-n寫成9-n.

對于第(2)小題：

5 柳暗花明又一村——啟示

從閱卷情況看，學生基礎知識、基本技能的掌握情況不容樂觀.主要表現(xiàn)為：概念模糊、公式記錯；考慮不周、計算出錯；復雜運算不能轉化；分類不明，常規(guī)問題準確性低，基本的解題書寫規(guī)范亟待改進.考試反饋表明，加強“雙基”教學是高考獲取成功的根本要素，教學時務必引起重視.教學時要認真鉆研考試說明，不搞怪題偏題，使學生在不同的情境下鞏固雙基，提高綜合解題能力.

教學中要關注反思和拓展，品味解題的方法和關鍵，探究一題多解，一題多變，深入理解數(shù)學本質.因此數(shù)學思想和本質的揭示要時時滲透在日常教學中.如在等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的推導過程中要注意引導學生揭示和提煉用“累加法”和“疊乘法”求通項的一種思想方法；在等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式的推導中則要求學生概括和領悟出“倒序相加法”和“錯位相減法”的精髓.這些被概括和提煉的數(shù)學思想方法源于課本，都是反映數(shù)學本質的東西.

總之，2013年浙江省數(shù)學高考試卷體現(xiàn)了新課標下的高考要求，傳遞了一個信息：高中數(shù)學教學應重視概念，回歸教材，克服“輕概念、重訓練”的現(xiàn)象，著力培養(yǎng)學生的思維能力，實現(xiàn)教學的自然回歸，引導中學數(shù)學教學從“題型+技巧+訓練”走向“概念+構建+思維”.