重視基礎(chǔ)，體現(xiàn)課改動(dòng)向 強(qiáng)調(diào)能力，昭示課改決心——2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷評(píng)析

● ●

(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 3140502) (三山高級(jí)中學(xué) 浙江慈溪 315300)

重視基礎(chǔ)，體現(xiàn)課改動(dòng)向強(qiáng)調(diào)能力，昭示課改決心——2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷評(píng)析

●沈新權(quán)●苗孟義

(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 3140502) (三山高級(jí)中學(xué) 浙江慈溪 315300)

1 試題特色

2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷深入貫徹“調(diào)結(jié)構(gòu)、減總量、優(yōu)方法、改評(píng)價(jià)、創(chuàng)條件”的課改精神，認(rèn)真落實(shí)“降低考試難度，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”的命題要求，嚴(yán)格遵循《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》和《浙江省普通高考考試說(shuō)明》，著力體現(xiàn)“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題特色，系統(tǒng)、全面地考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，在兼顧考查學(xué)生能力的同時(shí)，保持了命題的連續(xù)性、穩(wěn)定性、創(chuàng)新性，其主要特色總結(jié)如下：

1.1 重視基礎(chǔ)知識(shí)，凸現(xiàn)教材的作用

試題立足教材，站在綱內(nèi)，題可在書外，根子卻在書中，緊緊圍繞核心思想、常規(guī)方法設(shè)計(jì)常規(guī)問(wèn)題，注重通性通法，不出偏題、怪題，不出過(guò)難題，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要充分用好教材，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)．

大多數(shù)試題源于課本，或從課本中的定理、性質(zhì)、例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題等改變而來(lái)，即便是綜合題也由若干個(gè)基礎(chǔ)題整合加工而成．

無(wú)論是文科試卷還是理科試卷，始終站在數(shù)學(xué)的學(xué)科高度上設(shè)計(jì)試題，全面而又重點(diǎn)地考查了高中數(shù)學(xué)教材中的主干知識(shí)模塊，層次分明．

1．2 強(qiáng)調(diào)能力考查，經(jīng)典與創(chuàng)新相互左右

文科第8題不必動(dòng)筆，只需想想、看看就知道，當(dāng)x→±1時(shí)，f′(x)→0，因此在橫坐標(biāo)為-1或1處的切線斜率趨向0，直接選B．文科第10題屬于信息題，考查學(xué)生的閱讀能力、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，綜合利用基礎(chǔ)知識(shí)分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，定義中的“∧”和“∨”運(yùn)算分別代表取最小值和最大值運(yùn)算，結(jié)合反證法:若正數(shù)a,b滿足ab≥4，則a,b中至少有一個(gè)大于或等于2，否則ab<4，故a∨b≥2；若正數(shù)c,d滿足c+d≤4，則c,d中至少有一個(gè)小于或等于2，否則c+d>4，故c∧d≤2．

例1在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A)．設(shè)α,β是2個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，則

( )

A．平面α與平面β垂直

B．平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°

C．平面α與平面β平行

D．平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

圖1 圖2

圖3 圖4

第9題和第17題是文、理科完全相同的2道題．第9題主要考查橢圓與雙曲線的定義與性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握焦點(diǎn)三角形(△F1AF2)中的幾何性質(zhì)等．第17題以向量為載體，求解最值(值域)問(wèn)題，主要考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

2013年理科試卷解答題結(jié)構(gòu)的調(diào)整是一大亮點(diǎn)，不考三角函數(shù)解答題，改考數(shù)列，打破大家一貫認(rèn)定的模式，出現(xiàn)了數(shù)列、概率、三角函數(shù)之間三選二的格局，給人預(yù)料之外情理之中的感覺，引導(dǎo)大家關(guān)注《考試說(shuō)明》，不要迷信樣卷考什么，高考肯定考什么．另外，理科試卷中對(duì)三角函數(shù)的考查并未弱化，如第6,16題及第20題第(2)小題．值得一提的是理科第16題，多角度考查了正弦定理、三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式以及相關(guān)定理．

1．3 展現(xiàn)核心思想，細(xì)微之處考查學(xué)生功底

試卷在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，展現(xiàn)核心概念，重視能力考查．如理科第2,7,8,9,10,12,13,15,16,21,22題、文科第1,4,7,8,9,13,15,16,21,22題等考查了數(shù)形結(jié)合思想；如理科第18,22題、文科第19,21等題考查了分類討論思想；此外，函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想在多個(gè)題目中得到了體現(xiàn)．

例2已知a∈R，函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax．

(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;

(2)若|a|>1，求f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值．

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第21題)

本題第(2)小題在數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想引領(lǐng)下，比較容易得出結(jié)果．

解(1)略.

(2)由于f′(x)= 6x2-6(a+1)x+6a=

6(x-1)(x-a)，

令f′(x)=0，得x=1或x=a(如圖5).

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,a]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[a,2a]上單調(diào)遞增，從而

f(x)min= min{f(0),f(a)}=

min{0,-a3+3a2}=

圖5

當(dāng)a<-1時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,-2a]上單調(diào)遞增，從而

f(x)min=f(1)=3a-1.

綜上所述，

理科第22題的第(2)小題利用一個(gè)很小的動(dòng)作，把常見的三次函數(shù)套上一個(gè)絕對(duì)值，討論其閉區(qū)間上的最大值，試題的意蘊(yùn)由此而生，難倒了不少“解題高手”．其實(shí)，如果熟知數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的“高墻”也同樣可以輕易逾越．

數(shù)學(xué)思想是一種致命的武器，如果用它們來(lái)武裝學(xué)生的頭腦，那它們就是攻克數(shù)學(xué)難題的利器．

1．4 命題技術(shù)嫻熟，居高臨下體現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力

歷數(shù)浙江省歷年的數(shù)學(xué)高考試題，總體有這樣一個(gè)顯著的特點(diǎn)：簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，漸進(jìn)而不冒進(jìn)．2013年理科卷第7題再次體現(xiàn)了命題者嫻熟的命題技術(shù)．

A．∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

( )

A.C0M⊥AB

B.C0M⊥l，其中l(wèi)是拋物線過(guò)C0的切線

C.C0A⊥C0B

(2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第5題)

受例3和例4的啟發(fā)，如果把這2個(gè)問(wèn)題中的直線與拋物線改為任意的曲線，利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，便可以得到如下的推廣結(jié)論：

因此，我們可以好不避諱地認(rèn)為，這是一道題意簡(jiǎn)潔、立意新穎、解題思路入口寬、意味深長(zhǎng)、引人入勝、具有很好區(qū)分度的高考試題.這樣的試題足以證明命題者良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底．

1．4 文、理的顯著差別，突出不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)的科學(xué)理念

隨著新課程實(shí)施的深入，充分考慮文、理科學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)遷移上的差異，有效地落實(shí)“降低考試難度，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”的命題要求.對(duì)比文、理試卷，試題完全相同有4題(文9、理9，文15、理13，文17、理17，文19、理18)，姊妹題有5題(文1、理2，文2、理1，文5、理12，文14、理5，文21、理22)，完全不相同的題有13題，理科側(cè)重理性思維和抽象概括，文科側(cè)重形象思維和定量處理.文科試題比理科試題起點(diǎn)低，但文科第9,17,22題的難度與理科相應(yīng)題的難度相當(dāng)，這有利于區(qū)分文科尖子生．試題的編排由淺入深、由易到難、階梯推進(jìn)、拾級(jí)而上，特別是文科第20題立體幾何的3個(gè)小題，充分體現(xiàn)出試卷對(duì)考生的人文關(guān)懷．

2 白璧微瑕，改變不了我們對(duì)試題的喜愛與肯定

例5設(shè)a,b∈R，若x≥0時(shí)恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2，則ab=______．

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題)

例6設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(-1,0)的直線l交拋物線C于點(diǎn)A,B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)．若|FQ|=2，則直線l的斜率為______．

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

凡是做過(guò)此題的師生都有這樣一種感覺：當(dāng)k=±1時(shí)，有Δ=0，線段AB不存在，點(diǎn)Q為何還會(huì)是線段AB的中點(diǎn)？大家都知道線段有以下特點(diǎn)：(1)有有限長(zhǎng)度，可以測(cè)量；(2)有2個(gè)端點(diǎn)(但線段長(zhǎng)度不包括這2個(gè)端點(diǎn)，僅為中間距離)；(3)具有對(duì)稱性；(4)兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度是兩點(diǎn)之間的距離．我們自己在測(cè)試學(xué)生的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生一開始填寫的是k=±1，后來(lái)劃掉填寫了不存在，把k=±1劃掉都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很不錯(cuò)的學(xué)生．

3 試題的導(dǎo)向與浙江省深化普通高中新課程改革的大趨勢(shì)不謀而合

有效的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是學(xué)生學(xué)完了整個(gè)高中學(xué)科知識(shí)以后，已初步形成了本學(xué)科的知識(shí)體系，初步掌握了本學(xué)科最基本的思想和方法，認(rèn)識(shí)了本學(xué)科最基本的一般規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、熟練數(shù)學(xué)技能、掌握數(shù)學(xué)特有的思想和方法，從學(xué)科本質(zhì)出發(fā)去解決相當(dāng)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題的一項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)．因此我們要正確把握高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)．

當(dāng)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)依靠“題型+技巧+大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練”的學(xué)校占主流，通過(guò)增加課時(shí)、加班加點(diǎn)，搶占雙休日、暑假、寒假，犧牲了教師、學(xué)生的休息時(shí)間，通過(guò)布置高強(qiáng)度、超負(fù)荷的作業(yè)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生．課堂上教師講得多，做得少；帶著多，幫得少；演繹多，歸納少；套路多，思路少；做得多，概括少；傳達(dá)多，自創(chuàng)少.長(zhǎng)時(shí)間這樣下去，導(dǎo)致教師厭教、學(xué)生厭學(xué)的現(xiàn)象，這樣的教學(xué)方式缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和探索能力的培養(yǎng)，這是當(dāng)今教學(xué)中的一種遺憾．

我們很高興地看到，2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷在順應(yīng)課改方面作出了積極的嘗試，與浙江省深化普通高中新課程改革的大趨勢(shì)不謀而合．

試題敘述簡(jiǎn)約、通俗易懂，考點(diǎn)全面清晰，貫穿雙基，立足通性通法，選擇題、填空題解法多樣靈活，解答題著重考綜合、考能力，2013年有不少數(shù)學(xué)試題閃耀著熠熠光輝，以此來(lái)甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，給人以“做題不在多，有法則行；做題不在難，有意則靈”的感覺．這種考查方式倡導(dǎo)我們的高中數(shù)學(xué)教學(xué)要擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”，引導(dǎo)我們的課堂教學(xué)要真正重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)，真正重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，避免將大量精力消耗在盲目地套用所謂的解題技巧的教學(xué)和學(xué)習(xí)上，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從“題型+技巧+訓(xùn)練”走向“概念+構(gòu)建+思維”．這正是2013年浙江省數(shù)學(xué)卷的最大亮點(diǎn)，啟示我們要實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的自然轉(zhuǎn)型，真正實(shí)現(xiàn)課程改革的目的，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效．

3．1 以學(xué)生為本，避免教學(xué)的盲目性

新時(shí)期的教師應(yīng)認(rèn)真研讀課標(biāo)、學(xué)科指導(dǎo)意見、考試說(shuō)明，對(duì)新課程教學(xué)合理定位．每一位高中教師都要認(rèn)真研究學(xué)生的情況，準(zhǔn)確把握學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知基礎(chǔ)，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)展開教學(xué)．要知道哪些知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生容易掌握的、哪些是學(xué)生薄弱的？哪些能力是學(xué)生具備的、哪些是學(xué)生欠缺的？如現(xiàn)在有不少學(xué)生的運(yùn)算速度低下、運(yùn)算準(zhǔn)確率不高，這是高中學(xué)生的通病．當(dāng)然學(xué)校不同，學(xué)生的情況也會(huì)有差別，即使是同一個(gè)學(xué)校，不同班級(jí)學(xué)生的情況也會(huì)不一樣．每個(gè)教師應(yīng)該根據(jù)自己學(xué)生的特點(diǎn)，合理定位，制訂教學(xué)目標(biāo)，確定教學(xué)難度、教學(xué)方法等，這樣才能避免教學(xué)的盲目性．

3．2 以教材為基礎(chǔ)，關(guān)注數(shù)學(xué)的“源”與“本”

高考結(jié)束以后，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生問(wèn)：為什么高中階段我做了大量的數(shù)學(xué)題，但高考成績(jī)卻不太理想？比如，理科試卷中的第3,4,5,11,12,13,14題屬于基礎(chǔ)題，但有部分學(xué)生還是解錯(cuò)，在考試中，不少學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)、法則、定理、公理等認(rèn)識(shí)模糊(如理科第19題方差的計(jì)算)，導(dǎo)致在解答過(guò)程中對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用極不靈活，遇到陌生問(wèn)題時(shí)不知道如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去合理地展開聯(lián)想，進(jìn)行有效探究．殊不知，“大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練”只是加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，卻不能使他們獲得思考和解決問(wèn)題的能力．我們認(rèn)為，盡管每年的高考試題都會(huì)出現(xiàn)一些與理科第7,10題、文科第16題等類似的新穎試題，但這些試題的解決方法無(wú)一不是課本上的通性通法．因此，研究教材中每一章節(jié)的典型習(xí)題，注重“源”與“本”的關(guān)系，才能真正抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

3．3 以數(shù)學(xué)為載體，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是思維的體操，因此，高中的數(shù)學(xué)教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展為主要目的的，因此在教學(xué)中教師必須引導(dǎo)學(xué)生不斷地總結(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化和科學(xué)化．無(wú)論是一題多解還是一題多變，都要建立在數(shù)學(xué)知識(shí)的自然發(fā)展、建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，教師要想方設(shè)法通過(guò)形式多樣的教學(xué)方式，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的人文課堂．讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)嘴體味數(shù)學(xué)，通過(guò)分析、歸納、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，構(gòu)建師生心靈共鳴的和諧課堂，讓高中數(shù)學(xué)課堂真正充滿思維的活力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的真諦．