高等數學背景下的高考命題探究
——2012年全國數學高考理科卷第22題

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(嘉定區第一中學 上海 201808)

高等數學背景下的高考命題探究
——2012年全國數學高考理科卷第22題

●楊思源

(嘉定區第一中學 上海 201808)

題目設函數f(x)=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：x1=2,xn+1是過點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

(1)證明：2≤xn

(2)求數列{xn}的通項公式.

評析本題考查運用數學歸納法論證遞推數列{xn}的單調性，并求遞推數列的通項公式；考查考生的推理論證能力和利用遞推關系式與待定系數法探求數學通項公式的能力.本題背景深刻，立意高遠，它是高等數學背景下的一道居高臨下、深入淺出的高考試題.它的背景源于高等數學中用插值法求方程近似解，其原理如下：

假定實系數多項式f(x)=0在區間[a,b]有唯一的根ξ，且f′(x)=0和f″(x)=0在[a,b]內無根，即各自保持符號不變.聯結曲線y=f(x)的2個點A(a,f(a))與B(b,f(b)),設弦AB與x軸交點為b1(其坐標也可記為b1，下同)，b1作為根ξ的一次近似值.為了求出更接近的近似值，需分2種情況進行討論.

(1)f(b1)與f(b)異號，如圖1所示.

聯結弦B1B，交x軸于b2，b2為ξ的二次近似值，依次進行下去，可得ξ的一系列近似值.這時，取a作為0次近似值.

圖1 圖2

(2)f(b1)與f(a)異號，如圖2所示.

聯結弦AB1，交x軸于b2，b2為ξ的二次近似值，同情況(1)，依次可得ξ的一系列近似值.不過，這時應取b作為ξ的0次近似值.

那么，從f(x)及f″(x)的符號上如何區分這2種情況呢？

容易看出，在情況(1)中，a在曲線y=f(x)凹面的一側，此時f(a)與f″(x)異號；而情況(2)是b在曲線凹面的一側，此時f(b)與f″(x)異號.無論哪種情況，都是取f(x)的函數值與f″(x)異號的那個端點作為0次近似值.下面找出遞推規律.

(1)當f(a)與f″(x)異號時，直線AB的兩點式方程為

令y=0，可得弦AB與x軸交點b1的坐標

同理

…

一般地，有

(2)當f(b)與f″(x)異號時，類似地可求得

…

一般地，有

在上述2種情況下，序列a(或b)，b1,b2,…,都是從曲線的凹面單調地收斂于根ξ.

圖3

在這個原理的背景下，命題者選擇了簡單的函數f(x)=x2-2x-3，其零點為-1和3.如圖3,函數f(x)=x2-2x-3在區間[2,4]上連續，f′(x)=2x-2>0，f″(x)=2>0,且f(2)=-3<0,f(4)=5>0.

此題滿足原理中的第1種情況，即

f(2)=-3<0,f″(x)>0.

若取x1=2，則第n+1次根的近似值滿足遞推關系

即

由原理知，滿足此種情況的數列{xn}：2≤xn

這樣第(1)小題便解決了.

當然，此題也可用初等數學的方法作如下解答：

過點Q1(2,f(2))和點P(4，5)作一直線PQ1:

由2≤x1

由2≤x1

依次類推可得

式(3)與式(4)相除，得

故數列{xn}的通項公式為

利用函數的不動點求分式線性遞推數列的通項公式，也是借助于高等數學中的線性微分方程的特征根法而得到的一種方法，其原理說明如下：

解引入待定參數λ，使

當a1=λ時，an=λ(n∈N*)；

當a1≠λ時，an≠λ(n∈N*),此時可求出

(由αγ≠β可知λ≠α).

當(γ-α)2+4β≠0時，有

從而

由此可求出an.

仍成立，因此

不難看出，本題的產生源于方程近似解的線性插值法和利用函數的不動點求數列的通項公式.本題以高等數學的知識為背景，居高臨下，深入淺出進行高考命題，讓考生運用初等數學的思維方法來解決，不僅有利于揭示初等數學與高等數學知識的聯系，更有利于考生進入高校進一步的學習與深造，也有利于教師的專業知識的可持續發展.

[1] 李師正.多項式代數[M].濟南：山東教育出版社，1983：265-267.