賞析幾道以斐波那契數列為背景的高考題和競賽題

●周湖平 李陽華 (吉水中學 江西吉水 331600)

13世紀初意大利數學家斐波那契在《算盤書》中提出了一個有趣的數列，人們稱之為斐波那契數列.斐波那契數列源于兔子的繁殖問題：

兔子出生后2個月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一對(一雌一雄)，假如養了初生的小兔子一對，試問一年后共有多少對兔子?

依此類推，該問題產生的數列為：1，1，2，3，5，8，13，21……這個數列有個十分明顯的特點：前面相鄰兩項之和，構成了后一項.用Fn表示經過n個月后的兔子總對數，那么數列滿足如下遞推關系：

這就是著名的斐波那契數列.可以證明

這個公式又稱比內公式.由于其規律簡單、內涵豐富，因而在高考與競賽中頗受青睞.下面以幾道高考題和競賽題為例，闡述其應用.

例1 觀察下列各式：

(2012年江西省數學高考理科試題)

通過觀察不難發現

點評本題考查了歸納推理的有關知識，在歸納方法中考查了斐波那契數列通項的特點(即從第2項起，每一項都是前兩項之和).

(2012年上海市數學高考文科試題)

點評本題設計巧妙，以函數不動點、斐波那契數列為背景，考查一元二次方程的求解、歸納推理、分類處理問題的技能.

例3 5位學生圍成一圈依序循環報數，規定：

(1)第1位學生首次報出的數為1，第2位學生首次報出的數也為1，之后每位學生所報出的數都是前2位學生報出的數之和.

(2)若報出的數為3的倍數，則報該數的學生需拍手一次.

已知學生甲第1個報數，當5位學生依序循環報到第 100個數時，學生甲拍手的總次數為______.

(2009年福建省數學高考理科試題)

解設報到第n個數為an，則

寫出前幾項，可找到規律：a4m(m∈N*)為3的倍數.下面用數學歸納法證明此規律.

(1)當m=1時，a4=3，故a4=3為3的倍數;

(2)假設當m=k時，a4k為3的倍數，則當m=k+1時，

也是3的倍數.

由(1)和(2)可知，對于 m∈N*，a4m為3的倍數.依題意，學生甲報的數為 a5t+1(0≤t≤19，t∈N*)，這些數中是 3 的倍數有 a16，a36，a76，a96，故學生甲拍手的總次數為4.

點評這是一道以斐波那契數列為背景的實際應用題，有生活氣息，考查了學生數列建模能力、推理分析能力及其應用.

例4 用1或2這2個數字寫成n位數，其中任意2個位置不全為1，記n位數的個數為f(n)，求f(10).

(第2屆江蘇省高中數學通訊賽試題)

解符合條件的n位數可分為2類：

(1)當首位是2時，則余下n-1位數符合條件的個數為f(n-1);

(2)當首位是1時，則第2位是2，余下n-2位數符合條件的個數為f(n-2).

于是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，故{f(n)}為斐波那契數列.因為f(1)=2，所以f(10)=144.

點評解答本題的關鍵是對首位進行劃分，找出計數時的遞推關系，從而發現本題內蘊斐波那契數列.

例5 現有長為144 cm的鐵絲，要截成n(n＞2)小段，每段的長度不小于1 cm.如果其中任意3小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少?

(第16屆江蘇省高中數學競賽試題)

解由于構成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意2條邊之和小于或等于最大邊.

截成的鐵絲最短為1，于是可以放2個1，第3條線段就是2(為了使得n最大，要使剩下來的鐵絲盡可能長，于是每一條線段總是前面的相鄰2段之和)，依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55.以上各數之和為143，與144相差為1，因此可以取最后一段為56，這時n達到最大為10.

在這個問題中，143是斐波那契數列的前n項和.我們是把144超出143的部分加到最后的一條線段上去，如果加到其他線段上，就有3條線段可以構成三角形，不合題意.

點評從所截線段的長度看，這是斐波那契數列的前幾項，每段的長度不小于1，由最小數1通過構成三角形的條件產生了斐波那契數列.在這里，三角形的三邊關系蘊含了重要的斐波那契數列文化.

(1)對任意正整數n，都有an+2=an+1+an.

(2)數列{an}中的項都為整數，且任相鄰兩項都互質.

(2004年北京市中學生數學競賽試題)

證明(1)因為α，β是方程x2-x-1=0的2個根，由韋達定理：α +β=1，αβ=-1，得

再由對任意正整n，都有

因此數列{an}中的項都是正整數.下面證明任意相鄰兩項都是互質.

若不然，設(an+2，an)=d＞1.由對任意正整數n，都有

與d＞1矛盾.因此，數列{an}中任意相鄰兩項都互質.

點評本題第(1)小題考查了斐波那契數列的遞推關系，難度并不大;第(2)小題的結論其實就是斐波那契數列的一個基本性質，利用輾轉相除法易證.

(1)猜想數列{xn}的單調性，并證明你的結論;

(2009年陜西省數學高考理科試題)

由斐波那契數列的通項公式

點評這是一道有著深刻背景的好題，涉及到黃金分割數、斐波那契數列、迭代數列等諸多問題.若將斐波那契數列的前一項與后一項作比，比值作為一個新的數列的話，就是這道高考題中的數列.

近年來，高考數學試題與競賽題中經常出現以數學文化為背景的創新試題，突出了對數學思想方法的考查，強調了數學文化價值，有力地推動著素質教育的全面開展.數學教師必須開發與利用數學文化這一重要的教學資源，讓學生在數學學習過程中感受文化的熏陶，體會數學獨特的文化魅力，提升數學文化素養.

［1］ 劉海英，徐章韜.內蘊斐波那契數列文化的問題［J］.中學數學，2011(11)：66.