“巧妙點(diǎn)”的再探究

●何君青 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初中 江蘇南京 210019)

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，可以鍛煉學(xué)生的思維能力，使其不斷地發(fā)展.作為一名教師，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)一系列有價值的問題，這一系列問題往往表現(xiàn)為一個系統(tǒng)，蘊(yùn)含著豐富的思想和方法.筆者最近在一篇文章中創(chuàng)設(shè)了一系列問題，在稿件修改的過程中經(jīng)過多次斟酌和修改收獲頗豐，為把文章的部分環(huán)節(jié)再深入研究，經(jīng)思考后，本文就其中一個問題展開深入探索，愿與讀者分享.

原題呈現(xiàn) 平面上，若點(diǎn)P與點(diǎn)A，B構(gòu)成的△PAB是等腰三角形，我們稱點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“巧妙點(diǎn)”.類似地，平面上，若點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C中的任意2個點(diǎn)構(gòu)成的△PAB，△PBC，△PCA均是等腰三角形，我們稱點(diǎn)P是點(diǎn)A，B，C的“巧妙點(diǎn)”，或稱點(diǎn)P是△ABC的“巧妙點(diǎn)”.探索：若點(diǎn) A，B，C存在“巧妙點(diǎn)”，則如何作出這3個點(diǎn)的“巧妙點(diǎn)”?

分析由于點(diǎn)A，B，C的位置并未確定，需要考慮三點(diǎn)共線和不共線的情形，況且原文以探究課的形式呈現(xiàn)，并未深入研究個別角需要具備的條件，故筆者在三點(diǎn)共線的情形下解答如下：

圖1 圖2

圖3 圖4

若點(diǎn)A，B，C共線，則不能構(gòu)成三角形，如圖1～4可以分以下4種情況(由于點(diǎn)的任意性，相同方法下僅以一種情況為例)：

(1)如圖1，考慮特殊情況：當(dāng)B為AC的中點(diǎn)時，點(diǎn)P即為“巧妙點(diǎn)”;

(2)如圖2～4，當(dāng)點(diǎn)B不為AC中點(diǎn)時，可以利用垂直平分線、兩圓的交點(diǎn)或三圓交點(diǎn)找到“巧妙點(diǎn)”，此時∠A，∠C，∠APB有特定的度數(shù)(課后思考).

思考 根據(jù)圖1～4的描述，已經(jīng)作出了三點(diǎn)共線情形下的“巧妙點(diǎn)”.由于課堂時間的限制，筆者在課堂上并未讓學(xué)生具體算出∠A，∠C，∠APB，僅是利用幾何畫板的演示讓學(xué)生清晰地感受到三點(diǎn)共線情況下“巧妙點(diǎn)”如何作出.但課后學(xué)習(xí)能力較好的學(xué)生進(jìn)行了探索，筆者也進(jìn)行了計算，發(fā)現(xiàn)4種情形下的∠A，∠C，∠APB的大小是可以求得的，而且通過3個角的確定也能將點(diǎn)P的位置確定下來，可見求得∠A，∠C，∠APB是有價值的.

解(1)當(dāng)B為AC中點(diǎn)時，如圖1，只要點(diǎn)P能使△PAB，△PBC，△PCA均為等腰直角三角形即可，很容易求出∠A=45°，∠C=45°，∠APB=45°.

(2)當(dāng)B不為AC中點(diǎn)時，

①如圖2，以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑作圓⊙B，以點(diǎn)C為圓心、CB為半徑作圓⊙C，再作線段AC的垂直平分線，兩圓公共點(diǎn)且在垂直平分線上的這個點(diǎn)即為“巧妙點(diǎn)”P.因為在⊙B，⊙C中，BA=BP，CB=CP，所以

在△PCA中，由 PA=PC，得

由∠A+∠C+∠APC=180°，得

②如圖3，以點(diǎn)B為圓心、BC為半徑作圓⊙B，以點(diǎn)C為圓心、CA為半徑作圓⊙C，再作線段AB的垂直平分線，兩圓公共點(diǎn)且在垂直平分線上的這個點(diǎn)即為“巧妙點(diǎn)”P.因為在⊙B，⊙C中，CB=BP，CA=CP，所以

③如圖4，以點(diǎn)A為圓心、AC為半徑作圓⊙A，以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑作圓⊙B，以點(diǎn)C為圓心、CB為半徑作圓⊙C，三圓公共點(diǎn)即為“巧妙點(diǎn)”P.因為在⊙A，⊙B，⊙C 中，AP=AC，BA=BP，CB=CP，所以

通過上面的解答可知，若點(diǎn)A，B，C存在“巧妙點(diǎn)”，則作出巧妙點(diǎn)，還可以確定共線的3個點(diǎn)滿足什么條件時存在“巧妙點(diǎn)”.一道題的深入研究讓題目更趨于完美.

本題還可以進(jìn)一步推廣：對共線的4個點(diǎn)進(jìn)行“巧妙點(diǎn)”的探索.如圖5，共線的4個點(diǎn)A，B，C，D 的“巧妙點(diǎn)”情形：以點(diǎn) A為圓心、AC為半徑作圓⊙A，以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑作圓⊙B，以點(diǎn)D為圓心、DB為半徑作圓⊙D，三圓公共點(diǎn)即為“巧妙點(diǎn)”P.利用前面的方法可以求出此時∠A= ∠D=36°，∠APB= ∠DPC=36°，∠ABP=∠DCP=108°.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)在一定程度上理解其本質(zhì)，掌握其方法及規(guī)律，繼而會一題，解一類.不能走“題海戰(zhàn)術(shù)”、“強(qiáng)化訓(xùn)練”的老路，要開展探究規(guī)律性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，歸納出每一類題的特征，這樣才能提高學(xué)生的答題能力，真正解題時才可得心應(yīng)手.

圖5