“完美無缺”的解答 撲朔迷離的錯誤

●朱良滿 (溆浦縣第一中學 湖南溆浦 419300)

常言道：人非圣賢，孰能無過;知錯就改，善莫大焉!在解題過程中，不出錯永遠是一種理想狀態.教師和學生的解題能力在與錯誤、失敗的不屈斗爭中得到了提高.實際解題中，由于認知能力的欠缺和思維的局限性，一些問題的解答，我們認為“完美無缺”，其實漏洞百出;還有一些問題，我們明知解答有“錯”，但不知“錯”在何處，為何而“錯”.知道錯了是好事，而對錯誤的深層次反思，更是在積累著寶貴的知識財富.

筆者在教學過程中發現，很多學生自認為解答“完美無缺”，而當教師指出錯誤后，學生仍很難發現錯在何處，因何而錯.

由題意知，a滿足條件

由式(1)和式(2)知，a滿足

要使方程(3)有唯一解，則

正解 由上述解答過程知，ax2+bx=x有唯一解，得

由 f(2)=1知a=1，即 f(x)=1(x≠0).

例3 已知 0＜α＜β＜γ＜2π，且 cosα+cosβ+cosγ =0，sinα +sinβ +sinγ =0，求 β - α 的值.

錯解由已知得

將上述2個式子兩邊平方，再相加，得

又由0＜α＜β＜γ＜2π，知0＜β-α＜2π，因此

分析由 cosβ +cosγ =-cosα，sinβ +sinγ =-sinα兩邊平方，相加，得

本題為什么容易出現錯解的情況呢?原來，將cosα +cosβ =-cosγ，sinα +sinβ =-sinγ 兩邊平方，再相加，得

將 cosα +cosγ =-cosβ，sinα +sinγ =-sinβ 平方，相加，得

綜上所述，由0＜α＜β＜γ＜2π，知

圖1

在“完美無缺”的解答中，種種撲朔迷離的錯誤，其實隱藏著思考的盲區，如例1和例2中的“分母不能為0”，在實際解題中總是被忽視.我們所犯的“漏解”、“多解”等種種錯誤，即原命題被我們隨意地縮小、擴大了條件所應滿足的范圍.錯誤的產生不是壞事，它能促使師生共同反思，以發現錯誤的根源，而其最有效的標尺，就是在解題的過程中，始終堅持等價轉化的思想.