3個 二 次 由 “暗” 轉 “明”

●王蘇文 (浬浦中學 浙江諸暨 311824)

所謂3個二次指的是二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)、二次函數 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、二次不等式ax2+bx+c＞0(或＜0)(a≠0)對應于考查二次方程根的分布問題、二次函數性質(單調性、最值等)、二次不等式解或恒成立問題.對于高考而言，3個二次的考查并不陌生，幾乎年年考、年年新，浙江卷很少直接考二次函數，縱觀全國各個省份的高考卷，也有個別省份直接考二次函數，甚至出現考查二次函數的解答題，如湖南卷等.

仔細比較深化課程改革后的高考內容與原來新課程改革的高考內容，就會清晰地看到導數內容將不再作為高考的必修模塊內容(可參考表1).如此一來，作為高中數學的重要組成部分——函數，其考查的內容可能又將回歸到基本函數(指數、對數、三角函數)、常規函數(一次、二次函數)上來，毫無疑問二次函數的考查又將成為重點.

表1 深化課改前后理科部分的考試考點變化

續表1

因此，實行深化課改后對于3個二次問題應更加重視，對3個二次的問題要切實理解與掌握，否則可能在考試中吃虧.導數在列入高考內容之前的幾年中，大多以二次函數為命題依據，尤其是1996年、1997年的幾個二次函數問題使大多數考生都無從下手.雖然近幾年對函數與導數的考查，表面上沒有二次函數，但實際考查的本質還是以二次函數為主，有些高考題甚至就直接考二次函數(湖南卷、江蘇卷)，二次函數問題在高考中可謂生生不息.

筆者也大致瀏覽了近幾年的高考試卷，不難發現，高考對于二次函數的考查，有的直接考、有的間接考，以小題較多，相對而言純粹考二次函數解答題的較少.下面通過近3年的幾個有關二次函數的高考題與同行一起來了解一下高考中的二次函數問題考查.

1 直接考二次函數問題

1.1 二次方程問題

例1 設n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整數根的充要條件是n = ______.

(2011年陜西省數學高考理科試題)

分析要存在整數根，加上各個系數均為整數，故判別式必須為完全平方數才可能成立.可直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數與整除等進行判斷計算.

1.2 二次函數問題

例2 已知函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域為［0，+∞).若關于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m+6)，則實數c 的值為______.

(2012年江蘇省數學高考試題)

分析考查二次函數的值域與二次不等式的解集問題.

解由函數的值域為［0，+∞)，得

1.3 二次不等式恒成立問題

(2011年天津市數學高考理科試題)

分析本題為二次不等式恒成立問題，可先轉化為二次函數問題或恒成立問題，然后用常見方法進行處理.

方法1 轉化為二次函數問題處理

解不等式可化為

圖1

因此實數m的取值范圍是

方法2 轉化為恒成立問題處理

解不等式可化為

解得實數m的取值范圍是

2 間接考二次問題

2.1以二次為載體，實質考查非二次

例4 設f(x)是定義R在上的奇函數，當x≤0 時，f(x)=2x2-x，則 f(1)= ( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

(2011年安徽省數學高考理科試題)

本題主要以二次函數為載體，考查函數的奇偶性，函數值的求法，易解.選A.

2.2 以導數為載體，實質考查二次

(1)如果g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2處取得最小值為-5，求f(x)的解析式;

(2)如果 m+n＜10(m，n∈N+)，f(x)的單調遞減區間的長度是正整數，試求m和n的值(注：區間(a，b)的長度為b-a).

(2011年江西省數學高考文科試題)

分析(1)略;

(2)本題的關鍵是二次方程f'(x)=0的2個實數根的差為整數，但不等價于2個根為整數，故求解中不能混淆.

又遞減區間長度是正整數，故設 f'(x)=x2+2mx+n=0的2個實數根為a，b(b＞a)，結合韋達定理

從而區間長度為b-a.又

其中 m，n∈N+，m+n ＜10，且 b-a為整數，因此

點評求解此類問題的關鍵是抓住不等式與方程根的思想，滿足整數所需條件該如何進行轉化，結合平時所學整數間的有關方法進行解答.

縱觀這幾年的高考試題，二次函數考查以方程、不等式為主，3個二次往往滲透于其他知識中，體現背景公平，淡中見雋.猜想在深化課改后3個二次函數的考查上會更靈活，更有深度.