高中數學教材試驗研究概述和分析

●俞求是 (人民教育出版社課程教材研究所 北京 100081)

根據教育部頒布的《普通高中數學課程標準(實驗)》編寫的實驗教材已經在全國大部分地區進行了試驗，在此期間各地組織了許多教材研究、培訓、備課活動，廣大教師通過試驗對新課程所提倡的課程理念、課程目標、教學內容、教學方法和教學評價思想進行了認真學習和研究.經過幾年的時間，教材試驗取得了許多成功的經驗，眾多研究者也對教材試驗中出現的問題進行了廣泛而深入的調查和研究，并提出了進一步改進教學的辦法.筆者參加了教材的研究和編寫，也赴各試驗區進行了教材介紹、回訪等工作，對教材進行了反復學習，對教材試驗中出現的一些問題作了研究、分析和思考.本文概述目前部分教材試驗中的問題，并進一步對這些問題作了分析，提出解決問題的對策，希望對后續的試驗推廣和課程標準、實驗教科書的修訂完善有所啟示.

1 必修模塊的教學順序問題

《普通高中數學課程標準(實驗)》對必修5個模塊的教學順序沒有作明確規定，必修5個模塊的教學順序問題是高中數學教材試驗必須研究確定的問題.在教材試驗中也出現了一些突出的問題，如某些地區連續3年按照不同的模塊順序(12345，12453，14523)進行教學［1］.對模塊順序問題，教師們發表了許多意見.

江蘇省常州市教育局教研室的孫福明老師指出：按照常規理解，教材必修1～5應該是有順序的，而且這種順序應該體現編者的整體意圖和編者對高中數學的整體認識，但課程標準制訂組提出以數學1為基礎，其余4個模塊在不影響相關聯系和知識準備的條件下，學校可以根據學生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求.縱觀各地的教學順序，幾乎都回歸到老教材原有的以學科體系為主的順序，例如有些地方教學順序是必修14523，有些地方是必修15423等.在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當，給教學帶來了不便，如三角知識安排在必修4及必修5講授，但必修2立體幾何及平面解析幾何中都要用到三角知識;解三角形后移導致必修2中的立體幾何中對一般三角形的計算不能進行.同時高一物理學科也要用到三角知識.

為了解決必修5個模塊的教學順序問題，許多教師作了深入的研究.下面先考察必修5個模塊的教學內容及它們之間的聯系.

《數學1》包括集合、函數概念、冪函數、指數函數、對數函數以及函數的應用.集合是高中數學的基礎知識，為后續的教學內容準備了集合語言和思考問題的觀點，為從集合、對應語言描述函數概念提供了準備(函數作為2個數集之間的映射);函數概念是基本而重要的概念，是學習某些具體函數的基礎.冪函數、指數函數、對數函數是3類應用廣泛的基本初等函數.

《數學2》包括立體幾何初步、解析幾何初步.立體幾何初步部分，根據課程標準，首先利用實物模型、計算機軟件觀察大量的空間圖形，認識基本幾何體及其簡單組合體的結構特征，能畫出空間圖形的三視圖、直觀圖，了解一些常見幾何體的表面積和體積的計算公式，學習點、線、面之間的位置關系.解析幾何初步部分，根據課程標準，內容包括直線與方程、圓與方程以及空間直角坐標系的初步知識.這些內容涉及直線、平面之間的垂直和平行、直線的傾斜角和斜率等有關圖形相互關系的討論，此前就必須準備有關角和三角函數的知識，立體幾何中有一些空間圖形計算問題會涉及三角函數和解三角形的知識.

《數學3》包括算法初步、統計和概率的部分內容.相對而言，教師們對算法、統計、概率的內容較為陌生，算法內容對于計算機知識也有一定的要求.

《數學4》包括任意角的三角函數概念、平面向量、三角恒等變形.其中三角部分內容包括三角函數概念、三角誘導公式、同角三角函數之間的關系、三角函數圖像以及三角恒等變換等，為涉及角的問題準備了工具，應該安排在有關涉及角的知識教學之前.此模塊另一章內容是平面向量，涉及向量之間夾角的討論，應該安排在所需要的角的知識之后.

《數學5》包括解三角形、數列、不等式的初步知識.解三角形知識需要有《數學4》中的三角函數作基礎，數列內容主要包括等差數列和等比數列，對于預備知識要求不高，但應該從函數的觀點去認識，不等式部分含有線性規劃，需要有《數學2》中的直線方程作準備.

我們看到，在以上的教學內容中，集合屬于最基礎的概念;函數建立在集合概念的基礎上，實際上是2個數集之間的特殊對應關系;三角函數是一類特殊函數，涉及的圖形極其單純，就是任意角;向量就概念本身而言，也是非常簡單的，但需要討論向量之間的關系，如2個向量的和、差、數量積等，就要涉及向量之間的夾角，因此應該安排在學習三角函數的內容之后;立體幾何與解析幾何的內容都必須討論幾何圖形互相之間的位置關系，可以用三角函數和向量的工具;解三角形建立在2個定理的基礎上，必須在三角函數之后，并可應用于立體幾何與解析幾何的一些問題中;線性規劃以直線方程的知識為前提，必須安排在解析幾何初步之后;其他的內容(數列、不等式、算法、統計、概率)所需要的知識準備不多，可以相對比較靈活地安排在不同的位置，當然也會使能夠解決的問題范圍有所變化.由上可知，5個必修模塊之間有如圖1所示的邏輯結構關系：

圖1

根據以上分析，如果按照必修模塊12345的順序進行教學，《數學2》的教學涉及斜率、討論垂直、平行相互關系需要用到三角函數的知識，應該在需要的知識準備不夠時加以補充;另外，《數學3》的難點內容相對靠前了，而且把《數學1》、《數學4》和《數學5》中一些聯系密切的內容分隔開了.普遍認為，這不是一種理想的教學安排，隨著試驗的延續，許多試驗區不再采用此教學順序.

必修5個模塊的教學，比較好的順序是14523.按照14523的模塊順序，在教完《數學1》后緊接著教學《數學4》、《數學5》，從教學內容的聯系性看，可使函數相關的基礎知識內容相對比較集中;《數學4》提前，可以為后續內容(如《數學2》中的立體幾何初步、解析幾何初步，《數學5》的解三角形)作好準備.《數學5》的另外2章內容(“數列”和“不等式”)教學要求不高，學習難度也不大，安排在比較靠前的位置，有利于學生聯系函數知識，從函數的觀點來認識數列和不等式.不等式是高中數學基礎中的基礎，在其他數學問題中有廣泛的應用.《數學5》中解三角形的知識是解決《數學2》中立體幾何問題的必備知識，也為學習物理等創造條件.但《數學5》不等式中的線性規劃部分應該安排在《數學2》直線方程內容之后教學;《數學2》后移，適當縮短與后續課程中有關聯的知識的時間;《數學3》算法的內容一直沒有正式作為高中數學課程的內容，許多教師對于算法內容比較陌生.統計和概率的內容對于教師也相對比較陌生.教學時間后移，有助于教師有較充裕的時間用于熟悉內容，也有利于學生理解和掌握.從試驗的情況看，大多數教師對這種順序是認同的.

從參照現行大綱的高中數學教科書的體系安排來看必修14523的教學順序安排，全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本)《數學(必修)》的各章內容依次是：集合與簡易邏輯、函數、數列、三角函數、平面向量、不等式、直線和圓的方程、圓錐曲線方程、排列組合與二項式定理、概率、直線平面簡單幾何體.這與以上必修模塊按必修數學14523的順序比較接近，說明這是一種比較穩妥的安排.

當然，按照14523的順序，《數學3》放在5個模塊最后，產生的一個突出問題是對于課程標準提出的要把算法思想貫穿在整個課程中的設想不能很好地落實，應該在后續的教學中設法加以彌補.鑒于此，有意見認為可以調整模塊2和模塊3的順序，按照必修數學14532的順序進行教學，這也是一種值得考慮的方案.當然，也可以考慮把算法的基本內容提前教學來解決此問題.

2 模塊化教材結構問題

除了模塊順序的選擇問題以外，教師們還對改變高中課程的模塊化設置和調整教學內容安排體系提出了意見.

江蘇省常州市教育局教研室的孫福明老師指出：模塊教學難以使青年教師系統、整體、有一定高

度地把握教材 客觀上影響了青年教師的培養 模塊教學關注了一般學生的學習狀態，但對優秀的學生來說，淺嘗輒止則會影響他們思維品質的提高.對這部分學有余力的學生來講，他們希望對知識有一個深刻的認識和系統的理解，因此模塊教學對這部分學生來講是不利的.建議課標組能否適當調整模塊之間的知識順序，兼顧到數學學科的體系特點和學生的認知特點，使這2個方面和諧起來，能使高一高二年級有一定的層次性.

廣東省深圳外國語學校的謝增生老師指出：高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學與知識體系問題——模塊教學要求小步走，螺旋式上升，使知識體系被打亂，一種知識分成幾個不同部分，分散于不同模塊，不成體系，導致跳躍式地講授知識，許多工具性的內容后置或被刪除，如集合、函數中都用到的一元二次不等式的知識，要到《數學5》才出現.螺旋式上升與新課程倡導的積極主動、勇于探索的學習方式存在不和諧之處.應該調整順序，完善學科知識體系使教材內容符合學生的認知規律.該校還針對新課標下高中數學教材內容結構問題調整了順序，提出了一個教學實施計劃方案，具有一定的參考價值.

安徽省原巢湖市教育局教研室的張永超老師也指出：不等式、三角函數等都是數學學習的基本工具，以前的大綱及其配套教材是將解一元二次不等式放在初中，或放在高一起始階段學習的，但是《課標》卻將解一元二次不等式與簡單的線性規劃、均值不等式集中在一起，安排在《數學5》中，這不便于函數、集合知識的教學.在《數學2》中，解析幾何內容只涉及到圓與方程，而雙曲線、橢圓與拋物線的定義、標準方程和幾何性質等內容卻被安排在選修系列1、選修系列2中，因此只要求取得高中畢業學分而不參加高考的學生，則難以學到圓錐曲線的相關知識，對這些學生數學素養的培養十分不利.《課標》在《數學2》平面解析幾何初步中列出了有關空間直角坐標系的內容，不僅與章節名稱不符，而且這里的空間直角坐標系與選修2-1中“空間中的向量與立體幾何”相關內容相隔太遠，也屬知識割裂的表現.

由于一個模塊的課時限制，為了符合模塊的課時要求，就導致教材內容結構的邏輯性大大降低，這與數學學科邏輯嚴密性和數學教材系統性的突出特點不相符合，從而影響教與學.可以設想，如果再進一步把模塊課時統一減少 那么就將對教材內容的安排增加更多的困難，從而更加影響教材的內容系統性和邏輯性.

中學數學傳統教學內容中如初等代數、三角函數、立體幾何、解析幾何和概率統計的基礎知識是高中學生應該掌握的數學基礎知識，這些內容應該作為高中數學的必修內容，按這些內容的邏輯關系安排這些學科分支的教材內容，并考慮教學內容之間的互相聯系，必修內容是否就不必再設置模塊，而是按照過去大綱教材一樣按學期確定教學內容.在確定了必修內容以后的其他內容，如微積分的初步知識及目前的一些選修模塊和專題的教學內容，則可作為選修課程.這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數學課程必要的邏輯性和系統性，而教學內容的學分可根據相應教學內容的分量等因素加以確定.

3 映射、函數、反函數的教學

函數概念是高中數學極其重要的概念，映射與函數的安排順序、反函數概念的教學要求問題是新高中數學課程教學研究和討論較多的2個問題.

安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇老師指出：關于函數與映射概念的處理，新教材是先給出函數后再給出映射概念，即由特殊到一般.在教學中，就這2個概念作了對比試驗，結果發現，先講函數定義的班級，普遍反映對定義中的“f”表示對應關系理解不清，而先講映射后講函數的班級，對函數概念的理解要好得多.因此，這2個概念在邏輯上的順序和學生接受這2個概念難易順序并不一致.另外，對于函數概念，新教材上給出的就是映射觀點下的定義，從這方面看，也應是先講映射為宜.

在教材試驗回訪、調研中有教師也反映：高一數學有的知識點太簡單，如冪函數，應用很廣，但僅講一頁半;反函數的內容目前沒有講清;新課標實驗教材對于反函數概念講得不夠完整，應該完整講述反函數的定義域、值域、對應關系等，現在概念沒有講清，學生常對于概念提出許多問題，不好回答.廣州市執信中學劉仕森校長探訪了一些學生，特別是學習困難生，他們認為越講不清，他們的負擔越重，他們希望學生學得更明白一些，不知其理，反而學得辛苦.

為了考察映射、函數、反函數的內容在相關知識體系中的作用，圖2給出了與此有關的概念之間的結構示意圖.

圖2

從映射的觀點來認識函數概念，是在初中用變量觀點認識函數基礎上的深化，映射概念也是學習后續反函數概念的基礎.從中學數學教材歷史看，改革開放以后中學數學教學改革的一個重要成果是集合、映射觀點的引入和廣泛地滲透，先講映射后講函數，函數概念得到清楚的描述，學生理解沒有困難.很重要的是，映射的思想比函數的思想更具有一般性，具有更廣泛的應用價值，應該在數學教學中引起重視.

圖3是目前高中數學教材中相關內容的知識框架.

圖3

在這個知識框架中，映射概念是作為函數概念的推廣引入的，映射概念顯然沒有處于核心的位置，僅僅引入了概念，在課程體系中沒有發揮應有的作用.與映射相關的許多概念如一一映射、逆映射、反函數及反三角函數等初等數學的基本概念和知識都因此沒有得到重視，也同樣沒有起到應有的作用.而函數概念本身已經引入了對應的語言，但學生對于對應的概念本身并不很清晰，這就導致了學生不能準確理解函數概念

新課程降低映射的教學要求值得商榷.現在，新課程強調函數內容與實際的聯系，實際上，這與重視映射的教學在思想上并不矛盾，如果能夠結合起來，既重視映射概念的教學，又能重視函數與實際的聯系，那么就能使函數教學達到更高的水平.另外，新課程中反函數概念的教學要求大大降低，實際上，反函數的概念為認識后續的各類函數、關系及其性質提供了理論支撐，有利于學生從聯系的觀點認識各類函數，對這樣的基本概念教學的課時投入是有價值的，教學效率是高的.因此，反函數概念的教學要求有必要予以提高.

4 立體幾何的結構與教學要求

4.1 內容整體結構問題

立體幾何的教學是高中數學的重要組成部分，新高中數學課程對立體幾何的教學作了重大的結構調整和教學要求的改變，立體幾何的教學問題是目前討論的又一個熱點問題.在教材試驗回訪中，教師們對于立體幾何的教學提出了許多意見，意見集中在“幾何體內容與點線面位置關系的先后順序、判定定理是否應該證明”這2個方面.

在教材試驗回訪中，教師們反映：目前對于立體幾何中幾何體的內容講得太簡單，應該加強一些，現在只是代公式意義不大;立體幾何中面積、體積計算的內容應該靠后一些，有些基本概念(如高的概念)沒有，不好處理;過去在這方面花很多時間的，現在只是代公式意義不大;立體幾何的一些定理的證明沒有，中間過程沒有，好學生不滿足，是否在教學參考中給出補充;必修2將空間幾何體放在點線面知識的前面，按照教師用書的說法，認為這樣更符合學生的認知規律;從人認識事物來說，確實是先認識一個事物的外表，再認識它內在的本質，但是對于本章教學來講，在沒有學點、線、面知識之前，講解空間幾何體，在很多地方僅能講到表面問題，很多時候沒辦法很好地解析學生提出的問題;從學生學習的角度來講，因為不能知其所以然，所以學習的興趣明顯不高.

新課程首先安排簡單幾何體的內容，要求利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.對于結構特征，江蘇省運河高等師范學校的彭玉忠老師指出：所謂結構特征，就是幾何體的特征性質，換言之，即本質屬性.確認幾何體的結構特征，就是揭示幾何體生成的過程和規律 由于此階段對幾何體結構特征的研究尚無理論根據，全憑觀察和操作來確認，從單一角度分析不足以使學生全面而準確地認識幾何體的結構特征.

上面的結構實際上就是指多面體的棱、表面多邊形，或者旋轉體軸、母線等之間的位置關系，結構特征就是位置關系的特征、特點，實際上應該看成是幾何體概念的本質特征.但是由于學生尚未學習空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系等基本知識，包括對于描述幾何體結構特征至關重要的有關平行、垂直等概念，因此，對于空間圖形的結構特征的描述實際上是不可能真正達到教學要求.如第1章中對于“正投影”的定義：在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影.怎樣的投影算是正對著的，無法解釋.

正如對于新高中數學課程中不等式有關內容的教學不應該先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教學，然后再安排不等式基本性質的教學;也正如在平面幾何內容的教學中，不應該先安排多邊形和圓的性質的研究，然后再安排有關2條直線相交、平行、垂直等基本關系的研究，以及三角形的基本性質的教學等等，這是讓人無法理解的，因為后者為前者作了基本知識的準備.同樣，直線與平面的基本關系知識的教學，為幾何體的研究奠定了知識基礎，使幾何體的研究可以順利推進，這是一個值得重視的問題.

立體幾何部分的教學，可以首先借助信息技術和實物展示豐富的立體圖形，讓學生認識學習立體幾何知識的必要性與重要性，然后轉入線、面基本元素關系的知識學習，在此基礎上，再研究幾何體的性質.當然，對于幾何體研究的詳略程度，則應該有所選擇、有所側重，不必面面俱到，另外幾何體表面積、體積公式，從把數學也作為工具性、應用性學科的角度看，其推導則可以根據實際情況有詳有略.

4.2 判定定理的證明問題

新課程提倡合情推理與演繹推理的結合，對直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理都不加證明，只是通過操作就加以“確認”，不要求嚴格加以證明.《課程標準》認為這是培養了合情推理，而筆者認為，這與數學的科學性要求不相符合，通過合情推理只能得到結論成立的一種猜測，結論的正確性還有待于嚴格的證明才能真正加以“確認”.

此外，如果從節約課時的角度來考慮省略證明 判定定理的證明比性質定理的證明更顯得重要，因為判定定理的作用在于確定垂直或平行關系的存在，如果這種關系不能確定，就沒有什么性質可言了.另外，性質定理的證明比判定定理的證明要容易得多，如直線與平面平行的性質定理、平面與平面平行的性質定理，實際上就是直線與平面平行的定義、直線與直線的平行、平面與平面平行定義的直接應用而已，學生的理解不會存在什么困難.因此，從學生認識能力的角度來看，對于一些不容易證明的判定定理的證明更具有必要性.例如，對于直線與平面的垂直判定定理，定理的證明條件已經完全具備了，可以很直截了當地加以證明，方法簡捷明快.現在的教學安排，放棄定理的證明，又承認定理并在需要時就加以應用，定理的證明則安排到了后續選修2-1模塊的“空間向量與立體幾何”部分，借助空間向量的方法來證明，相隔時間很久，學生們對定理證明的必要性也許不以為然了.判定定理的探索和證明是培養學生的科學探究態度和精神的良好時機，對于怎樣從直線與平面內2條相交直線垂直的條件推證出此直線與平面垂直，即與平面內任何一條直線都垂直的問題，學生們一般都會有濃厚的興趣，而保護和培養這種探究精神和態度對于高中學生尤其重要.平行與垂直判定定理是立體幾何中重要而基本的內容，讓學生證明這些定理，認識到定理的正確性，這比對結論不求甚解，知其然而不知其所以然而盲目加以應用要好得多.著名數學家姜伯駒院士就曾指出“沒有了嚴格的證明就沒有了數學的靈魂和數學的精華.”

目前，對于空間關系的判定定理的證明安排在了數學2-1的空間向量與立體幾何部分，這對于選修1-1和1-2的學生就失去了知識的完整性，沒有機會認識這些重要的判定定理.從知識結構和知識的難度上來看，空間向量和立體幾何的知識可以安排在必修課程中，讓所有的學生都學習.否則，就會有很大一部分學生不會解決有關的空間問題.

4.3 空間向量與立體幾何

另外，怎樣把空間向量和立體幾何很好地融合起來，使立體幾何的部分內容用向量方法處理，確實是一個有價值研究的問題.向量提供了另一種解決空間圖形問題的方法，使學生領略到機械化的數學方法.向量方法具有把某些立體幾何問題算法化的特點.從本質上說，向量不必分成平面向量和空間向量，任何一個向量都是空間中的一個向量，因此對于向量的研究應該可以直接從空間向量著手進行 高等學校的 空間解析幾何 也正是這樣安排的.但中學數學課程中，一般都先學習平面向量，然后安排空間向量，這可以使向量的知識在平面問題中首先及時得到應用，也降低了向量學習的難度，體現了知識安排的階段性、螺旋式.可以預料，如果較早引入空間向量，就使許多內容的新的處理成為可能，當然這是有利有弊的，是一個值得繼續研究的問題.

4.4 其他問題

三垂線定理(及逆定理)給出了一種判定平面內一條直線與平面的斜線(或斜線的射影)垂直的方法，解決了一類重要的問題，具有廣泛應用.新課程把它安排到了選修2-1，在一個例題中證明了此結論，但沒有相應的鞏固和應用性的訓練，導致此定理的地位下降、作用減弱.

新課程要求以長方體模型為載體直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，使得空間位置關系討論的背景過于單一、簡單乏味，不能反映現實空間問題背景的豐富性，對于具體空間關系問題的實際背景針對性并非最佳.這樣的引導也許并不妥當.

5 極限概念和微積分初步的教學

新課程對微積分初步知識的教學作了重大的改革，加強了導數與積分應用的教學.另外，重要的改革是在不講極限概念的基礎上講導數的和積分等概念.對此，也有不同的意見.

華南師范大學數學系的黃志達老師指出：微積分基礎下放到中學，已有幾次反復.在新課程中，“新的突破”就是不講極限也能講導數，“極限”2個字在中學課本里已經取消，只講平均變化率和瞬時變化率之間的關系，舉了大量的諸如成本邊際、利潤邊際的實例……極限的概念并不難理解，中學里要用到的簡單極限就更容易被理解接受，不給嚴格的定義，粗淺的定義也可以，何苦去割斷體系弄巧成拙呢?

山東省臨沭一中的王峰晨老師指出：極限內容的刪除給學生學習以及更深地理解數學帶來不便.極限是一種重要的數學思想，是看問題的態度.怎么能說要理解好導數就要刪去產生導數的極限呢?極限是學習導數必需的，不應該成為學習導數的障礙.

山東聊城大學的房元霞、宋寶和老師通過教學實驗得到結論：極限是學生學習導數的關鍵和難點，教師對無極限的導數表現出不適應.

為分析極限概念的地位和教學價值，圖4給出了微積分初步內容概念的結構框架.

圖4

如果有人問有哪一個概念是基本而重要的、自始至終貫穿于微積分內容和數學分析學科的?答案是極限的概念.微積分和數學分析幾乎可以看成是一門研究“極限論”的學科.微積分初步知識中一些最重要的概念，如導數、連續函數、定積分概念都直接建立于極限概念之上.新課程中不講極限的概念，以上內容便不容易講清楚，也不太好描述.重要的是，極限思想是一種重要的數學思想，不講極限概念本身，也就很難把握極限的思想.實際上，在后續許多內容的教學中，極限符號廣泛使用，沒有極限的語言使教學顯得很不自然，很別扭.

山東省聊城大學的房元霞、宋寶和老師認為：微積分中的重要概念都是用極限定義的，導數也不例外，講導數想避開極限是不可能的……與其若隱若現、馬馬虎虎，倒不如尊重學生的認知基礎，把函數極限的知識提出來，當然表現形式上要自然流暢，淡化形式，重在極限思想的描述.

在高中數學中安排微積分初步知識的教學是有一定價值的，但是，微積分本身是數學的一個重要分支，其內容相當豐富.對大多數學生的普遍性教學要求而言，在中學階段不可能講授系統的微積分知識，中學數學課程中應考慮到學生的年齡特點，控制教學的要求和難度.而極限概念作為必要的基本概念，在微積分初步中占有不可替代的重要地位，應該在這部分內容的教學中予以重視，至于怎么講法，必須考慮教學時數的限制.過去曾經引入比較嚴格的極限概念的教學，還包括了數列極限和函數極限的內容.這是一種講法，這種講法對于牢固建立極限概念和思想當然是有利的，不足之處是在極限概念上花費較多的教學課時.另外也可考慮通過一些學生容易接受和理解的數列極限的例子，讓學生學習直觀的極限概念(一般是在無限變化中無限趨近于定值)，建立不夠嚴密但對后續概念(如導數、連續函數、定積分等)的教學十分必要的極限觀念.從我國中學數學教學經驗看，只要方法得當，讓高中學生掌握比較嚴格的極限概念也是可能的 這就要在教學中貫徹因材施教的原則 只要可能，不妨讓一部分學生學習比較嚴格的極限概念，而不必強制性地統一限定和降低教學要求.

另外，高中微積分初步中導數和定積分的教學主要著眼于它們的應用價值，由于課時的限制，內容不能太多.當然，在結構中必要的內容還應該重視，如目前教材教學中不定積分的內容就有必要充實、加強，否則，對于定積分教學的順利進行就會有影響.另外，一定要限定所涉及的初等函數的范圍，只能讓學生在高中階段初步接觸微積分的思想.

6 初中數學和高中數學的銜接

新課程對于許多教學內容的教學要求作了調整，因此也引起了初中數學和高中數學教學銜接上的一些問題.

(1)義務教育數學課程標準對于配方法的要求降低，但配方在數學中起重要作用，應該加強.

(2)乘法公式目前初中只有平方差公式和完全平方公式，沒有立方和與立方差公式，與此相關的分解因式也降低了要求，而在高中數學教學中，研究函數的單調性、解方程、解不等式、三角恒等變換等許多方面都需要應用這些乘法公式，在初中的教學要求應該提高;另外，從學科教學的角度看，乘法公式也是數學的基礎知識，應該予以充實.

(3)多項式相乘初中限制在一次式相乘，為后續的高中數學教學帶來困難，例如二項式定理及其相關內容的教學，在初中的要求應該適當提高，應該去掉限制，當然，對于相應運算內容的基礎訓練應該把握適當的度.

(4)初中根式的運算(根號內含字母的)比較薄弱，特別是分母有理化已不作要求，使高中的代數恒等變形和求圓錐曲線的標準方程產生困難.

(5)解二元二次方程組的知識在高中解析幾何中有重要應用，如討論圓錐曲線、函數圖像交點問題中經常用到.

(6)初中只要求會求有理數的絕對值，規定絕對值符號內不含字母，影響了高中數學中一些問題的順利進行.

解決這些問題有2種途徑：一是目前先編寫供高中學生使用的銜接教材;二是今后進一步修訂初、高中數學教學要求.

7 內容多課時緊的矛盾

新高中數學課程實施以來，學生學習負擔過重是一個相當突出的問題，這是課程標準修訂中應該引起重視的.

安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇老師指出新課程實施中課時較少，給課程目標的實現帶來挑戰.新教材必修1基本上是一節內容一個課時，如果遵循課標的課時安排，幾乎堂堂是新內容，容易造成學生對所學知識淺嘗輒止……由于課時減少，弱化了習題課的功能，既影響學生雙基的形成，又影響過程與方法、情感態度和價值觀目標的實現.

浙江省臺州市黃巖區教育局教研室的洪秀滿老師指出：新高中數學課程存在內容多、要求高、課時少的問題，如對新課程集合內容的教學要求和課時情況作分析，發現目前教材比過去大綱下教材的內容多了2項，但課時卻從過去的6課時減為現在的4課時，使教學出現困難，欲速而不達，并希望對課程標準作修訂.

浙江省教育廳教研室的張金良老師、杭州長征中學的朱成萬老師指出：調查表明，有50.0%的教師認為工作負擔加重，44.0%的教師認為工作負擔有些加重，2項之和占94%;50.0%的教師認為學生負擔加重，41.3%的教師認為學生負擔有些加重，2項之和為91.3%.

華南師范大學數學系的彭上觀老師指出：內容多、課時少是學生反映最強烈的問題.調查發現，83.5%的學生認為教師講課速度快，學習跟不上，沒有時間理解和消化所學習的內容.有必要適當調整部分教學內容，如在高一第1學期開設的數學課程不宜過多……，讓學生對高中的數學學習有一個適應的過程，以實現初高中的平穩過渡.

江蘇省運河高等師范學校的彭玉忠老師指出：新課程文、理科的基礎型總課時都分別超過原課程文、理科的總課時，提高型總課時超過就更多了.不僅如此，新課程設定的課時比原課程課時的容量大.據統計，在新課程必修模塊的180課時中，有163課時是原課程中的內容，而這些內容在原課程中約占203課時，由上可見，新課程的內容總量比原課程有較大幅度的增加.

從教科書的篇幅看，目前教材必修課5本書(180課時)的篇幅比原高中數學必修課4本書(280課時)的篇幅還大.從實驗的情況看，學生負擔過重，影響學生對于數學知識的理解和掌握，導致了學生對于數學學習的興趣下降.

適當增加教學課時是解決課時緊的矛盾的有效辦法，在實際教學和課程標準修訂中應該考慮增加必修課的教學時間.另外，可以考慮刪去一些相對次要的教學內容(這些內容不屬于數學基礎內容 和一些重復設置的教學內容 如立體幾何中的中心投影、量詞、框圖、三視圖，與初中重復的一些統計等內容.

8 內容體系的其他問題

對于課程標準不同模塊的內容安排，教師們還提出其他方面的意見和建議.

在教材回訪時教師們指出：簡易邏輯的知識，應是學生基本數學修養的一個重要部分，應該貫穿整個高中數學，現在被挪至選修內容中，令人遺憾;4種命題的知識應該在高中開始階段教給學生，而且結合集合中的并集、交集、補集關系講解或、且、非，學生也易于掌握.

在《數學2》中，第2章“平面解析幾何初步”中安排了“空間直角坐標系”，這與整章的標題不吻合.實際上把這節內容移至選修2-1第3章“空間中的向量與立體幾何”應更妥當.

《課程標準》對于不等式的知識非常重視，指出不等關系與相等關系是同樣重要的數量關系，專門安排了一個不等式選講的選修專題.不等式內容是基本的數學知識，而且是工具性的，應該提前學習，但不必在不等式證明上花費太多的時間(如對于三角內容，不必在三角恒等變形上花費過多精力)，而是應該教給學生不等式的一些基本知識，如不等式的基本性質和常見不等式，如絕對值不等式的性質，均值不等式(可以給出一般形式的均值不等式)，就能加強不等式知識的應用價值.

根據我國中學數學教材編寫長期的經驗，安排中學數學教學內容順序結構應該遵循一些基本原則：(1)注意與初中數學的銜接;(2)符合數學教學內容之間的邏輯關系;(3)考慮學生的心理發展水平，在內容深淺、難易程度上有一個坡度設計，從易到難、從單一到復合、從簡單到復雜地安排教學內容;(4)工具性內容靠前安排;(5)相關內容適當集中;(6)內容安排有利于按教學時段劃分.

這些原則對于調整高中數學教學內容結構有重要的指導意義.

以上，對于新課程實施中出現的部分問題發表了一些個人意見.實踐是檢驗真理的唯一標準.應倡導通過有比較的教學實驗來判斷我們的思想是否符合教學規律.因此，建議研究者根據新課程試驗中出現的各種不同觀點，設計不同的教學方案，通過教學實驗進一步研究，甚至編寫用于比較的試驗教材(可以是部分內容的教材片斷)，拿出有說服力的實驗數據作判斷，這樣才有利于我國中學數學教育的科學發展 有利于我國中學數學教材建設的科學發展，有利于學生的發展和培養.

［1］ 陳小紅.關于新課程必修模塊不同教學順序教學安排的實踐與思考(之一)［J］.中學數學教學參考：上半月，2008(5)：18-20.

［2］ 孫福明.蘇教版高中數學教材使用過程中的若干感受［J］.中學數學月刊，2007(10)：2-5.

［3］ 朱耀習.關于新課程必修模塊不同教學順序教學安排的實踐與思考(之二)［J］.中學數學教學參考：上半月，2008(5)：21-22.

［4］ 謝增生.對新課標下高中數學教材的幾點思考［J］.中學數學研究，2007(11)：1-2.

［5］ 孫立群.高中數學新課標必修模塊教學舉要［J］.中學數學教學，2007(3)：1-3.

［6］ 張金良.朱成萬，對浙江省高中數學新課程實驗的調查與思考［J］.教學月刊，2007(3)：7-12.

［7］ 張永超.關于《普通高中數學課程標準(實驗)》適用性和科學性的幾點思考［J］.數學教育學報，2008(2)：61-64.

［8］ 吳仲奇.對北師大版高中數學教材必修(1)的若干看法［J］.中學數學研究，2007(7)：24-25.

［9］ 劉仕森.研討數學課改實驗 提高課改實施質量［J］.中學數學研究，2007(3)：14-16.

［10］ 彭玉忠.新課標高中立體幾何若干問題辨析［J］.中學數學月刊，2006(12)：10-12.

［11］ 黃志達.普通高中數學課程標準在實驗過程中的問題分析［J］.中學數學研究，2005(10)：4-6.

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［13］ 房元霞.宋寶和.沒學過極限，學生能學會導數嗎——新課程“導數”概念教學的實驗研究［J］.數學通報，2007(9)：10-14.

［14］ 洪秀滿.當前高中數學新課程實施現狀的調查與思考［J］.教學月刊：中學版，2007(4)：9-11.

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