在初中數學教學中方程函數思想的運用

劉昭慧

摘要：在初中數學教學中，方程與函數是十分基礎且重要的內容.方程函數思想的靈活運用，能夠將數學問題化繁為簡，令我們的解題思路清晰明了，迅速找到正確合理的解題方法.本文就方程函數思想在初中數學教學中的運用，提出作者膚淺的見解，以期與廣大同行交流溝通.

關鍵詞：初中數學；方程函數思想；概念；運用

一、方程函數思想的概念

所謂方程思想，是指以問題的數量關系為切入點，利用題目中所提供的已知條件，通過數學語言，將問題轉化為方程（組）、不等式（組）或者方程與不等式的混合組等來求解的方法；所謂函數思想，是指通過構造一次函數、反比例函數、二次函數等來求解的方法.方程與函數雖然是兩個不同的概念，但是在具體的解題過程中，二者相互滲透，相輔相成，在一定條件下還可以相互轉化.因此，在一般情況下，我們把這兩種思想統一起來，稱為方程函數思想.

二、方程函數思想在初中數學教學中的運用

（一）方程函數思想的形成

在數學教學中，我們要從以下幾個方面入手，幫助學生形成方程函數思想：

1. 夯實基礎，提高認識

在日常教學中，要重視學生對基礎知識的掌握，只有將方程、函數、不等式等的性質與用法爛熟于心，才能在具體的解題過程中對其靈活運用，綜合把握.

2. 提高方程函數思想意識

要在日常教學與練習中，著重培養學生運用數學方法去挖掘題目中的隱含條件，進而構建方程或函數的能力.幫助他們在形成解題技巧的同時，提高自身的觀察能力、邏輯思維能力和發散思維能力.

3. 培養學生創新思維能力

數學是十分靈活多變的一門學科，只有不斷提高學生的創新思維能力，才能做到觸類旁通，舉一反三，將公式、定理和已知條件做到活學活用.

（二）方程函數思想在初中數學教學中的具體應用

下面我們通過一些實例，來具體分析方程函數思想在初中數學教學中的運用.

1.利用方程或方程組解題

例1現有一“雞兔同籠”問題，從上面數，有頭35個，從下面數，有腳94只，請問籠中有雞和兔各多少只？

解析：要解決這一問題，需要根據已知條件尋求數量上的隱含關系.本題可以用方程或方程組來解決.

解法1：假設有雞x只，則有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.

解法2：假設有雞x只，有兔y只，得出方程組：x+y=35；2x+4y=94

通過求解方程或者方程組，可以得出有雞23只，有兔12只.

（二）利用函數解題

例2趙強擁有一家玩具熊銷售公司.他所銷售的玩具熊每件進價20元，在銷售過程中趙強摸索出每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可以用一次函數：y=-10x+500來表示.假設趙強每月的銷售利潤為M（元），試問每件玩具熊的定價為多少元時，他可獲得最大利潤？

解析：根據題目中所給條件，我們可以得出一個二次函數，通過求解二次函數，可以得到答案.

解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.

由此得出答案，定價應為35元時，趙強可獲得最高利潤.

（三）利用函數與不等式解題

例3接例題2，根據相關規定，趙強所經營的這一類玩具熊每個單價不得超過32元，如果趙強每月想獲得不低于2000元的利潤，那么每月成本最低需要多少錢？

分析：根據已知條件和問題，我們發現，解決這一問題需要利用到一次函數、二次函數和不等式性質三個知識點相結合.

解法：因為a=-10<0，所以拋物線的開口向下，所以當30≤x≤40時，M≥2000，因為x≤32，所以當30≤x≤32時，M≥2000.假設成本為Q（元），根據題意可知，Q=20（-10x+500）=-200x+10000，因為k=-200<0，所以Q與x成反比，所以當x=32時，Q的值最小，為3600.

（四）利用函數與方程相轉化的方法解題

在上文中我們提到，在一定條件下，函數與方程可以相互轉換.在一些時候，從函數的角度看方程，或者用方程的觀點看函數，也能使解題達到事半功倍的效果.

例4k取何值時，能令方程x2-3x+k的根一個大于1，一個小于1？

分析：從表面上看，這是一個方程問題，然而，如果我們能利用函數的性質來解題，采取數形結合的方法，則可以從很大程度上簡化解題過程.

解法：由已知條件我們可以將方程x2-3x+k的根看成是使函數y=x2-3x+k=0的值為0的自變量的值，也就是說拋物線與x軸的交點.根據所畫拋物線可知，拋物線開口向上，那么當x=1，y<0這一條件成立時即可.也就是說，-2+k<0，得出k<2.

總之，在新課程標準指導下的初中數學教學，已經不僅僅滿足于教給學生定理、公式及其簡單用法的層面，而是要在夯實基礎知識的同時，培養學生的邏輯思維能力、發散思維能力和創造力，以及他們運用課堂所學的數學知識，解決生活中實際問題的能力.方程函數思想在初中數學教學中的應用，正是按照新課標的這一要求，讓學生在掌握數學知識的同時，對知識能夠抽象分析、綜合運用，靈活掌握，做到舉一反三、游刃有余.

[江西省九江市第三中學 （332000）]