整除理論

劉穎　高子清　周淑紅

摘要：整除理論是與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容.本文針對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容就如何在初等數(shù)論的課堂教學(xué)中突出師范特色，結(jié)合教材內(nèi)容與競(jìng)賽內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的聽(tīng)課能力做了一些有效的探索.

關(guān)鍵詞：初等數(shù)論； 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) ；小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

高等院校的小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)的是未來(lái)的小學(xué)教師.而初等數(shù)論中的一些基本知識(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的用途是十分廣泛的，在初等數(shù)論的課堂教學(xué)中注重與小學(xué)數(shù)學(xué)教育結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生明確數(shù)論內(nèi)容在小學(xué)教材中出現(xiàn)的內(nèi)容及小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽出現(xiàn)的相關(guān)類(lèi)型題目，滲透小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，提高學(xué)生的教學(xué)能力顯得尤為重要.小學(xué)教學(xué)與初等數(shù)論關(guān)系密切（尤其體現(xiàn)在奧數(shù)中），最常見(jiàn)的整除理論問(wèn)題包括：數(shù)的整除特征，質(zhì)數(shù)與合數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).下面結(jié)合小學(xué)例題及競(jìng)賽試題進(jìn)行實(shí)際說(shuō)明.

一、 數(shù)的整除特征

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中介紹過(guò)數(shù)的整除特征，即若一個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8時(shí)，那么這個(gè)數(shù)一定能被2整除；若一個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0、5時(shí)，這個(gè)數(shù)一定能被5整除；若一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定能被3整除.

因?yàn)檎麛?shù)A除以9的余數(shù)等于它的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)，而2001，1001除以9的余數(shù)分別為3和2，3×3×2=18，所以x能被9整除，即除以9余0.

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

首屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試題的第3題：105的約數(shù)共有幾個(gè)？這些都與質(zhì)數(shù)與合數(shù)有關(guān).

例2一些真分?jǐn)?shù)的分子與分母互質(zhì)，且分子與分母的乘積是780，這樣的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？

解：因?yàn)?80=22×3×5×13，所以

22在分子上時(shí)，有223×5×13，

共5個(gè).故這樣的分?jǐn)?shù)共有3+5=8（個(gè)）.

三、奇數(shù)與偶數(shù)

例3有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次將其中四只杯同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”，使其杯口向下.問(wèn)能不能經(jīng)過(guò)這樣有限多次的“翻轉(zhuǎn)”后，使九只杯口全部向下？為什么？

解析：對(duì)每只杯口向上（下）的杯子，只有“翻轉(zhuǎn)”1次、3次、……后才能使杯口向下（上）.即對(duì)每只杯子，只有“翻轉(zhuǎn)”單數(shù)次后，其杯口的朝向才能改變.現(xiàn)在要求九只杯口向上的杯子杯口全部朝下，那么每只杯子必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”，根據(jù)性質(zhì)單數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)可知，這九個(gè)奇數(shù)的和一定是個(gè)奇數(shù).即只有經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”，才能使九只杯口向上的杯子的杯口變?yōu)槿砍?

另外每次只能同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”四只杯子.這就是說(shuō)，不管如何“翻轉(zhuǎn)”，最后“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)一定是4的倍數(shù).4是偶數(shù)，所以“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)是個(gè)偶數(shù).前面要求“翻轉(zhuǎn)”總次數(shù)必須是奇數(shù)，這里又說(shuō)它一定是個(gè)偶數(shù)，前后矛盾，所以按要求無(wú)論怎樣“翻轉(zhuǎn)”，都不能使九只杯口全部向下.

四、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)課本第十冊(cè)在約數(shù)與倍數(shù)這節(jié)中，有這樣的思考題：60=2×2×3×5，你能從這個(gè)式子中知道60除了約數(shù)3以外，還有哪些約數(shù)嗎？這些都與約數(shù)與倍數(shù)有關(guān).

例4將一塊長(zhǎng)3.57米、寬1.05米、高0.84米的長(zhǎng)方體木料，鋸成同樣大小的正方體小木塊.問(wèn)當(dāng)正方體的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，用料最省且小木塊的體積總和最大？（不計(jì)鋸時(shí)的損耗，鋸?fù)旰竽玖喜辉S有剩余）

解：因?yàn)?.57米=357厘米，

1.05米=105厘米，

0.84米=84厘米，

又357，105，84最大公約數(shù)是21.

所以當(dāng)正方體的邊長(zhǎng)是21厘米時(shí)，其體積最大.

以上就初等數(shù)論中相關(guān)小學(xué)課本中的內(nèi)容及競(jìng)賽的內(nèi)容（結(jié)合歷屆國(guó)際奧賽試題及全國(guó)數(shù)學(xué)初賽、決賽試題）探討相關(guān)數(shù)論方向的命題思路，堅(jiān)持“不超前、不超綱”和“大眾化、普及型”的命題原則和組織原則.前者是強(qiáng)調(diào)課內(nèi)課外的結(jié)合與一致，課內(nèi)是基礎(chǔ)、課外是補(bǔ)充；后者是強(qiáng)調(diào)內(nèi)容不易過(guò)難，讓不同層次基礎(chǔ)的學(xué)生，均得到應(yīng)有的收獲和提高.

使學(xué)生初步掌握競(jìng)賽整數(shù)論的主要內(nèi)容，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)論的思想和方法解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一般問(wèn)題.有利于本科生在大學(xué)畢業(yè)后能夠很快進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論部分的教學(xué)角色及承擔(dān)奧賽的培訓(xùn)工作.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）.北京：人民教育出版社，2012.

[2]王進(jìn)明.初等數(shù)論.北京：人民教育出版社，2005.

[3]吳建平.奧賽教材.北京：首都師范大學(xué)出版社，2005.

[哈爾濱學(xué)院 （150086）]