同題異構在數學解題中的應用

剛守濤

摘 要：數學解題是學生集中所學知識解決實際問題的過程，在這一過程中，所需的理論和方法取決于學生先前的聯系經驗，更與思考問題的方式和習慣密不可分。下面就具體問題展開分析，愿與各位同仁商榷。

關鍵詞：同題異構；數學解題；應用

求最值問題是中學數學中常見的問題，常見的解決方法有均值不等式法、函數單調性法等。根據不同的條件和信息選擇解決方法。數學中的轉化與化歸思想在解題中至關重要，如何理解有效信息，更大范圍地聯系所學知識構建數學模型成為解題關鍵。不同的數學模型體現不同的思維空間，展示不同的思維過程，體現共同的數學之美。

有這樣一道求最值題：設b是1-a與1+a的等比中項，則

a+3b的最大值為多少？

根據題目條件可以直接得到數學信息：3b2=1-a2，條件中的等量關系得到直接體現，接下來針對問題a+3b的取值范圍展開討論。

解法一：條件變形得到a2+3b2=1，把（a，b）看作橢圓上的一個動點，令m=a+3b，問題轉化為求m的取值范圍。結合線性規劃的理論與解題策略，限定的區域為橢圓上的點，a+3b=0得到直線方程，平移直線獲得變量m的最值，直線與橢圓相切時，m取得最大值為2，最小值為-2。

解法二：由解法一得到a2+3b2=1，把（a，b）看作橢圓上的一個動點，令a+3b=m，問題轉化為求m的取值范圍。聯立a2+3b2=1

a+3b=m，得到12b2-6bm+m2-1=0。由直線與橢圓有公共點，可以得到Δ=36m2-48（m2-1）≥0，解得m2≤4，∴-2≤m≤2，m的最大值為2。

解法三：根據解法一可以得到m的最大值在直線與橢圓相切時得到，所以聯立方程，由判別式Δ=36m2-48（m2-1）=0，解得m=

±2，∴m=2。

……

以上幾種方法其實都充分利用了橢圓方程這一數學模型，把變量的變化充分結合動點的分布，再現不同方法與問題的結合，體現出同題異構的精妙之處，反映的是解題思路，呈現的是方法，訓練的是學生廣泛聯系的解題策略。

解法四（幾何法）：根據條件a2+3b2=1，當且僅當參數a，b都取正數時，a+3b可能取到最大值。

于是構建△ABC，如圖，使得C=30°，AB=1，設BC邊上的高AD=b，BD=a，則有CD=3b，AC=2b。由正弦定理可得a+3b=sin∠BAC，當且僅當∠BAC=90°時，a+3b=2成立。

同一道數學題，采用了不同的解題策略，過程不同，不一樣的精彩，最終實現解題的目的。如果學生主動參與進來，那么效果會更好。數學解題的最終目的不過是學會用數學知識解決實際問題，從這一目的來說，同題異構可以實現數學學習的方法與應用策略，更好地掌握數學內容。期待有更好的方法、更多的精彩與學生分享，共同成長。

（作者單位 山東省東營市勝利第二中學）