同題異構(gòu)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

剛守濤

摘 要：數(shù)學(xué)解題是學(xué)生集中所學(xué)知識解決實際問題的過程，在這一過程中，所需的理論和方法取決于學(xué)生先前的聯(lián)系經(jīng)驗，更與思考問題的方式和習(xí)慣密不可分。下面就具體問題展開分析，愿與各位同仁商榷。

關(guān)鍵詞：同題異構(gòu)；數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用

求最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的問題，常見的解決方法有均值不等式法、函數(shù)單調(diào)性法等。根據(jù)不同的條件和信息選擇解決方法。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中至關(guān)重要，如何理解有效信息，更大范圍地聯(lián)系所學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為解題關(guān)鍵。不同的數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)不同的思維空間，展示不同的思維過程，體現(xiàn)共同的數(shù)學(xué)之美。

有這樣一道求最值題：設(shè)b是1-a與1+a的等比中項，則

a+3b的最大值為多少？

根據(jù)題目條件可以直接得到數(shù)學(xué)信息：3b2=1-a2，條件中的等量關(guān)系得到直接體現(xiàn)，接下來針對問題a+3b的取值范圍展開討論。

解法一：條件變形得到a2+3b2=1，把（a，b）看作橢圓上的一個動點，令m=a+3b，問題轉(zhuǎn)化為求m的取值范圍。結(jié)合線性規(guī)劃的理論與解題策略，限定的區(qū)域為橢圓上的點，a+3b=0得到直線方程，平移直線獲得變量m的最值，直線與橢圓相切時，m取得最大值為2，最小值為-2。

解法二：由解法一得到a2+3b2=1，把（a，b）看作橢圓上的一個動點，令a+3b=m，問題轉(zhuǎn)化為求m的取值范圍。聯(lián)立a2+3b2=1

a+3b=m，得到12b2-6bm+m2-1=0。由直線與橢圓有公共點，可以得到Δ=36m2-48（m2-1）≥0，解得m2≤4，∴-2≤m≤2，m的最大值為2。

解法三：根據(jù)解法一可以得到m的最大值在直線與橢圓相切時得到，所以聯(lián)立方程，由判別式Δ=36m2-48（m2-1）=0，解得m=

±2，∴m=2。

……

以上幾種方法其實都充分利用了橢圓方程這一數(shù)學(xué)模型，把變量的變化充分結(jié)合動點的分布，再現(xiàn)不同方法與問題的結(jié)合，體現(xiàn)出同題異構(gòu)的精妙之處，反映的是解題思路，呈現(xiàn)的是方法，訓(xùn)練的是學(xué)生廣泛聯(lián)系的解題策略。

解法四（幾何法）：根據(jù)條件a2+3b2=1，當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)a，b都取正數(shù)時，a+3b可能取到最大值。

于是構(gòu)建△ABC，如圖，使得C=30°，AB=1，設(shè)BC邊上的高AD=b，BD=a，則有CD=3b，AC=2b。由正弦定理可得a+3b=sin∠BAC，當(dāng)且僅當(dāng)∠BAC=90°時，a+3b=2成立。

同一道數(shù)學(xué)題，采用了不同的解題策略，過程不同，不一樣的精彩，最終實現(xiàn)解題的目的。如果學(xué)生主動參與進(jìn)來，那么效果會更好。數(shù)學(xué)解題的最終目的不過是學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，從這一目的來說，同題異構(gòu)可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與應(yīng)用策略，更好地掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。期待有更好的方法、更多的精彩與學(xué)生分享，共同成長。

（作者單位 山東省東營市勝利第二中學(xué)）