人口遷移問題數(shù)學模型

【摘 要】人口遷移問題自古至今都是存在的，利用矩陣來分析遷移問題是實際可行的。本文通過建立人口遷移方陣函數(shù)，計算其最小多項式，分析其極限，得出長期的人口遷移對不同地區(qū)的人口數(shù)的影響。

【關(guān)鍵詞】人口遷移；方陣函數(shù)；最小多項式；極限

一、引言

人口遷移問題始終伴隨著國家的發(fā)展，人口遷移究竟會對國家或地區(qū)的人口數(shù)量帶來多大的影響是國家制定相關(guān)政策的依據(jù)。可通過建立人口遷移方陣函數(shù)，計算其最小多項式，分析其極限，得出長期的人口遷移對不同地區(qū)的人口數(shù)的影響。假設(shè)有兩個地區(qū)——如南方和北方之間發(fā)生人口遷移。每一年北方50%的人口遷移到南方，同時有25%的南方人口遷移到北方，直觀上可由下圖表示：

圖1 人口遷移直1P觀圖

如果這個移民過程持續(xù)下去，北方的人會不會全部都到南方，人口的最終的分布狀況如何，下面就這個問題建立模型進行討論。

二、建立人口遷移模型

1.設(shè)定初始量。設(shè)北方初始人口數(shù)為N0，南方初始人口數(shù)為S0，經(jīng)過k年移民過程之后，北方人口數(shù)變化為Nk，南方人口數(shù)變化為Sk，則用矩陣表示可以得到如下的關(guān)系式： ■

=Ak■=■■■=■■ （1）

其中，A=■=■，稱為人口遷移矩陣，f（A）=Ak=■■=■■，稱為人口遷移方陣函數(shù)。

如果移民過程持續(xù)下去，即k→∞之后，北方的人會不會全部都到南方，或者北方的人口最終會如何分布，那么就需要求出■N■，以及■S■，所以最后的問題轉(zhuǎn)換為求解f（A），換句話說，就是■f（A）=■Ak。最后計算南方、北方經(jīng)過k年移民過程之后的人口數(shù)，并分析遷移對南方、北方人口數(shù)的影響。

2.■Ak是否存在。要想判斷■Ak是否存在，需要計算對任意一個ε>0，是否總存在任意一個范數(shù)‖A‖<ρ（A）+ε。下面分別計算‖A‖1，‖A‖2，‖A‖3，ρ（A）。

（1）范數(shù)：‖A‖1=1；（2）范數(shù)：由λE-A■A=λ■-■λ+■=0，可得‖A‖2=1.03；（3）無窮范數(shù)：‖A‖∞=1.25；（4）譜半徑：由λE-A=（λ-■）（λ-1）=0，可得ρ（A）=1。可以看出

‖A‖1<ρ（A）+ε，所以■Ak存在。計算■f（A）=■Ak：由方程（1）的已知條件，可以計算得λE-A=（λ-■）（λ-1）=0，求解可得：λ1=■，λ2=1，最小多項式為m（λ）=（λ-■）（λ-1）。故可設(shè)： Ak=f（A） =a0E+a1A（2）

結(jié)合兩個特征值可以得到如下方程組：

（3）

所以，有：■Ak=■f（A）=■（a0E+a1A）=■a0E+■a1A

把A帶入計算可得： ■Ak=-■E+■A=-■■=■ = ■ （4）

計算k→∞之后的南方、北方人口數(shù)： ■ ■= ■Ak■= ■■ （5）

為方便計算，設(shè) ■Nk=N∞，■Sk=S∞，得到如下方程組：

（6）

三、結(jié)論

綜上，因為N0>0，S0>0， 所以N∞>0，即北方的人不會全部都到南方；因為N∞=（■）（N0-S0），即北方的人口最后會變成原來南北方總?cè)丝跀?shù)差別的■。人口遷移模型的建立為國家或地區(qū)制定相關(guān)政策提供了依據(jù)。

參 考 文 獻

[1]楊大地.數(shù)值分析[M].重慶：重慶大學出版社，2004