對任意數項級數收斂條件的探討

摘 要： 級數的斂散性判別一直以來都是級數理論的核心.本文研究了已知的判別任意數項級數收斂的相關定理，探討了如何從新的角度判定一般任意數項級數收斂和絕對收斂的方法，并給出了定理的相關證明.

關鍵詞： 任意數項級數 收斂 絕對收斂 定理 證明

級數理論是數學分析學的一個非常重要的理論，在其他數學科學和現代科學技術領域有著廣泛的應用.判別級數的斂散性是級數理論的核心，其判別方法一直為人們所研究.任意數項級數■u■收斂的必要條件是■u■=0，而當且僅當■u■=0時，任意數項級數■u■的斂散性是不確定的.并且，在判定級數收斂的充分條件時，往往要求以正項級數為前提，這就給我們判定一般任意數項級數的斂散性增加了難度.因此，我們試想探討：在一般任意數項級數■u■中，當■u■=0時，只要再增加什么條件，就能夠使其收斂.

一

在諸多判別任意數項級數收斂的充分條件中，以■u■=0為判別條件之一的有如下幾種.

（一）Leibniz定理：如果交錯級數■（-1）■u■（u■>0）滿足下列條件：

（1）u■≤u■；（2）■u■=0，

則級數■（-1）■u■收斂，且其和s≤u■.

該定理首先要求級數為交錯級數，其次要求■u■=0，并且u■單調減少，便能證明其收斂.

（二）如果數列{nu■}收斂，且■n（u■-u■）也收斂，則任意數項級數■u■收斂.

在這個結論中，由數列{nu■}收斂，不難推出■u■=0，再加上一個■n（u■-u■）收斂的條件，即可獲證任意數項級數■u■收斂.

（三）Cesaro定理：如果級數■u■的部分和數列{s■}滿足■■=s（S為有限數）時，且u■=o（■），則■u■收斂.

這里，將■u■收斂的條件減弱為■■=s，稱為（C，I）求和，將■u■=0改為u■=o（■），即可證明■u■收斂.

二

在此，本文試從新的角度，通過建立三個輔助定理——引理，給出任意數項級數■u■在條件■n.△u■下收斂和絕對收斂的幾個定理.

引理1：若■u■=0，則■u■（n+1）|△■u■|收斂于u■，其中，△u■=u■-u■；△■u■=△（△u■）=u■-2u■+u■.

證明：■（n+1）|△■u■|=■■（k+1）△■u■=■■（k+1）·（u■-2u■+u■）=■[（u■-2u■+u■）+2（u■-2u■+u■）+3（u■-2u■+u■）+…+（n+1）·（u■-2u■+u■）]=■（u■-u■）=u■

引理2：對？坌u■，則有u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）·△u■

證明：當n=0時，u■-u■=△u■成立.設對？坌n成立，則對n+1有

u■=u■=u■-u■+u■-u■

由歸納假設知

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）△u■+△u■+△u■

=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）·{△■u■+△■u■}+△u■

由于

（n+1）·△u■+△u■=

（n+1）·（△u■-△u■+△u■）+△u■=

（n+1）·{△■u■+△u■}+△u■

因此

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+（n+1）·△■u■+（n+2）△u■

引理3：若■u■=0，則■n·△u■=0

證明：由引理2

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）△u■

令m=n，及m=n+1，則分別有

|（n+1）△u■|≤|u■-u■|+|△■u■|+2|△■u■|+…+n|△■u■|

≤|u■-u■|+■|（k+1）△■u■|

|（n+2）△■|≤|u■-u■|+■（k+1）|△■u■|

由引理1，若■u■=0，則■（n+1）|△■u■|收斂，再由柯西收斂定理可知

■n·△■=0.

定理1：設■n·△u■收斂于S，其中△u■=u■-u■，則■u■收斂于S-u■.

證明：S■=■u■=（N+1）u■-u■+■n·△u■，由已知

■（N+1）u■=0及■■△u■=S，即可知■u■，收斂于S-u■.

定理2：設{nu■}收斂，且■n|△u■|收斂，則■u■絕對收斂.

證明：由Abel變換

■u■b■=u■B■-■B■△u■

其中，B■=■b■.令b■=sgnu■，則

■|u■|≤（m+1）|u■|+■n·|△u■|

因為|B■|≤n，所以■|u■|部分和有界，所以■u■絕對收斂.

注：若■u■為正項級數，且u■=o（■），a>0，則■u■收斂.

若■u■為正項級數，且u■=o（■），u■單調，則■u■未必收斂.

例如：■■由廣義積分？蘩■■■dx可知級數發散，但■=o（■），且■（n≥2）單調下降，因此它不是■u■收斂的充分條件.

定理3：設級數■u■，其中u■≥0且單調，則當u■=o（■）時，■u■收斂.

證明：∵u■=o（■），∴n·u■<ε，不妨設u■單調上升，故

（m-n）u■≤u■+…+u■≤n·u■（n>m）

？坌ε>0，？堝充分大的m，n使

|u■+…+u■|

定理4：設■u■的相應級數為■u■·x■，且■■u■·x■=s（s為有限數），

當u■=o■時，則■u■收斂.

證明：考察x→1-0，設

I=|■u■·x■-■u■|

S■=■u■為■u■的部分和，因為

I=|■u■·（x■-1）+■u■x■|≤|■u■·（1-x■）|+|■u■x■|

其中，

|■u■·（1-x■）|<（1-x）■ku■

對于固定的n，且x→1-0，它必趨向于0，而

|■u■·x■|=|■k·u■■|<■■x■<■→0 （x→1-0）

所以

■I=0

即■u■收斂于S.

參考文獻：

[1]陳建功.三角級數論[M].上海：上海科學技術出版社，1964.

[2]菲赫金格爾茨.數學分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3]江蘇省非理科專業高等數學競賽試題，1991.