導數(shù)問題的高考題型及解法解讀

關鍵詞：導數(shù)；極值；單調性；恒成立問題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2013）069-0081-01

在近幾年的高考中，對導數(shù)問題的考查力度正在逐年增加，不僅題型在變化，而且設置問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，將導數(shù)與其它數(shù)學知識的結合已成為高考題的一道靚麗的風景線。

一、對導數(shù)定義和求導法則的考查

例1.設函數(shù)f（x）=■+1nx，則（ ）

A.x=■為f（x）的極大值點 B.x=■為f（x）的極小值點

C.x=2為f（x）的極大值點 D.x=2為f（x）的極小值點

解：∵f（x）=■+1nx（x>0），∴f′（x）=-■+■，由f′（x）=0解得x=2.

當x∈（0，2）時，f′（x）<0，f（x）為減函數(shù)；x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，f（x）為增函數(shù)，∴x=2為f（x）的極小值點，所以選D。

點評：本題考查了利用導數(shù)確定極值點問題，但首先要利用求導公式對函數(shù)順利求導，才能快速作答。

二、對導數(shù)幾何意義的考查

例2.曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為 .

解：∵y'=3x2-1，∴y'|x=1=3×12-1=2，故曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為y-3=2（x-1）即y=2x+1.

點評：本題涉及到曲線的切線問題，由于此曲線是三次曲線，很難正常求解，導數(shù)的幾何意義無疑為這類問題的解決提供了新方法、新途徑。實際上，涉及到曲線的切線尤其是三次或三次以上的曲線與對數(shù)曲線、指數(shù)曲線等曲線的切線和公切線問題，常?？紤]利用導數(shù)來求解，可謂事半功倍。

三、對利用導數(shù)求函數(shù)的極值或最值的考查

利用導數(shù)求函數(shù)的極大（?。┲?，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大最小值，或利用求導法解決一些實際問題是高中函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化、程序化，因而已逐漸成為新高考的一大熱點。

例3.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c-16.

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有最大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值.

解：（略）

點評：本題主要考查運用導數(shù)研究函數(shù)的最值、極值問題，同時考查由極值求參數(shù)的逆向思維能力，還考查學生的分析和解決問題的能力。這類問題用傳統(tǒng)數(shù)學教材中的知識與方法往往難以解決，導數(shù)成為破解此類問題的重要工具。

四、運用導數(shù)解決與函數(shù)單調性有關的問題的考查

運用導數(shù)的符號判斷函數(shù)單調性的知識，或者已知函數(shù)的單調性，反過來確定函數(shù)式中特定字母的值或范圍，并且在知識考核的過程中包含著對分類討論及轉化與化歸等的數(shù)學思想的全面考查，是近年來高考的必考之點。

例4.設函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

點評：可導函數(shù)f（x）在（a，b）上是單增（或單減）函數(shù)的充要條件是：對于任意x∈（a，b）都有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間上都不恒為零。在高中階段主要出現(xiàn)的是有一個或多個（有限個）使f′（x）=0的點的情況。上題主要考查了學生應用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法以及分類討論及轉化與化歸的數(shù)學思想。這種命題方式是今后高考命題的一種趨向，體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想，復習中應引起高度重視。

五、對利用導數(shù)處理含參數(shù)的恒成立問題的考查

恒成立問題中的參數(shù)取值范圍，其解決方式較多，如果我們在短時間內難以很快尋得正確的解題思路時，可以考慮試試從導數(shù)知識入手，解題或許將鋒回路轉，柳暗花明，這就再一次說明導數(shù)在教材中的引入，拓寬了高考的命題空間，受到命題教師的青睞。

例5.已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a>0.

（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1

證明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立.

點評：含參數(shù)的恒成立不等式問題，常規(guī)解法涉及到分類討論和建立較復雜的不等式組，對考生的要求比較高。導數(shù)的引入，給傳統(tǒng)的參數(shù)取值范圍注入了生機與活力，為恒成立不等式中的參數(shù)取值范圍的研究提供了新的視角、新的方法，本題就是運用求導法研究恒成立問題的一個很好的例證。

六、導數(shù)與其它知識的融合

例6.設00，

B=x∈R|2x2-3（1+a）x+6a>0，D=A∩B.

（1）求集合D（用區(qū)間表示）；

（2）求函數(shù)f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D內的極值點.

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法、極值的求法、集合的運算及分類討論思想等知識的交匯應用。通過運用導數(shù)知識解決集合、不等式問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。