高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要五種意識(shí)

摘 要：解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的環(huán)節(jié)。開(kāi)展富有成效的解題教學(xué)，教師不僅需要具有高超的解題能力，而且需要具有高水平的解題教學(xué)能力，尤其需要具有鋪墊、糾錯(cuò)、反思、應(yīng)用、文化等五種解題意識(shí)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；意識(shí)；鋪墊；糾錯(cuò)；反思；應(yīng)用；文化

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2013）09-0068-03

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾強(qiáng)調(diào)指出“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？就是要善于解題。”如何教會(huì)學(xué)生解題？如何教會(huì)學(xué)生順利而靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法來(lái)獨(dú)立地創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)例題習(xí)題？這無(wú)疑是高中數(shù)學(xué)教師最直接也是最為核心的任務(wù)，而如何提高學(xué)生的解題能力也一直是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)所關(guān)心的重要問(wèn)題。這就要求教師具備高超的解題教學(xué)能力和獨(dú)到的解題教學(xué)觀念。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了思考，認(rèn)為在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需要具有五種意識(shí)。

一、鋪墊意識(shí)

經(jīng)常有數(shù)學(xué)教師抱怨，某道題講解了多少遍，學(xué)生還是一臉茫然，不得其理，不會(huì)解題。究其原因，從教師方面考察，很可能是研究此題之初沒(méi)有做好鋪墊。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題或一道數(shù)學(xué)題之所以讓學(xué)生為難，一定是存在著某個(gè)思維高地，學(xué)生難以企及。這時(shí)，教師需要具有鋪墊意識(shí)，做好解題的鋪墊工作就顯得十分重要；鋪墊猶如鑿山開(kāi)路，學(xué)生沿著這些山路無(wú)疑終會(huì)走到山頂。

具體而言，做好鋪墊就是再現(xiàn)題中蘊(yùn)含的本質(zhì)情景，還原場(chǎng)景；或者簡(jiǎn)化題中的若干條件，去枝去葉，暴露主干；或者先行解決外圍若干難點(diǎn)，掃清障礙，直奔主題；或者將所求結(jié)論由易到難層層細(xì)化，讓學(xué)生順勢(shì)而行，直至頂端。如此，學(xué)生便會(huì)洞悉其中的奧妙，達(dá)到解決問(wèn)題的目的，而且因?yàn)橹獣云渲械膩?lái)龍去脈，由點(diǎn)及面，這一類(lèi)問(wèn)題甚至與之相關(guān)的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思維的深刻性、全面性也會(huì)得到加強(qiáng)。

案例1.已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2-n+1求數(shù)列an的通項(xiàng).

典型失誤：an=Sn-Sn-1=2n-2（n∈N*），沒(méi)有注意到公式an=Sn-Sn-1的使用條件n≥2，導(dǎo)致a1并不滿足所求通項(xiàng)。

本題并不算難題，但很多學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)，不明白為什么要檢驗(yàn)a1，教師若作如下鋪墊，將會(huì)非常自然地化解原題的難度，學(xué)生將會(huì)較容易接受并理解其中關(guān)鍵所在。

鋪墊1：已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2-n，求（1）a1，a2，a3，（2）數(shù)列an的通項(xiàng)。

鋪墊2：已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2-n+1，求a1，a2，a3.

二、糾錯(cuò)意識(shí)

很多數(shù)學(xué)概念、定理之間差別微小，其相互聯(lián)系特別是邏輯關(guān)系卻頗為復(fù)雜，學(xué)生往往很難理解，等到解題實(shí)踐時(shí)，總是在這些關(guān)節(jié)點(diǎn)上摔跟斗，特別是初次接觸這類(lèi)習(xí)題，或是間隔一段時(shí)間再現(xiàn)的時(shí)候。這時(shí)，教師就需要具有糾錯(cuò)意識(shí)，解題教學(xué)過(guò)程的糾錯(cuò)，猶如庭審現(xiàn)場(chǎng)上法官、律師以及當(dāng)事人就案件過(guò)程的再現(xiàn)和辯駁，這對(duì)犯錯(cuò)之人的悔過(guò)和旁聽(tīng)人員的教育無(wú)疑是異常深刻的。

所謂糾錯(cuò)意識(shí)，就是教師在解題教學(xué)過(guò)程中針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的具體情況，分析其根本原因，理順若干相關(guān)概念的邏輯關(guān)系，反復(fù)強(qiáng)調(diào)并再現(xiàn)“錯(cuò)誤現(xiàn)場(chǎng)”；接著，教師應(yīng)整理學(xué)生類(lèi)似錯(cuò)誤，歸納總結(jié)；然后適當(dāng)引申，編制相關(guān)習(xí)題進(jìn)行補(bǔ)償練習(xí)，舉一反三，升華思維。實(shí)踐證明，在解題教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)糾錯(cuò)，補(bǔ)償強(qiáng)化，將會(huì)有效克制學(xué)生再犯類(lèi)似錯(cuò)誤。

案例2.已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0，求實(shí)數(shù)a，b.

失誤再現(xiàn)：因?yàn)閒′（x）=3x2+6ax+b，依題意，有f′（-1）=3-6a+b=0，f（-1）=-1+3a-b+a2=0故a=1，b=3或a=2，b=9.

失誤分析：可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)為零，即f′（x0）只是函數(shù)f（x）在x=x0處取極值的必要條件，而非充分條件，因此本題由f′（-1）=3-6a+b=0求出a，b后還需代入原函數(shù)去檢驗(yàn)——導(dǎo)函數(shù)在x=-1的左右附近是否異號(hào)。

糾錯(cuò)對(duì)策：在教學(xué)中，我們可以畫(huà)出學(xué)生熟悉的函數(shù)f（x）=x3的圖象，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)的單調(diào)性，加以解釋和分析，并強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)的必要性，另外，還要進(jìn)行有針對(duì)性的補(bǔ)償練習(xí)，學(xué)生才會(huì)從本質(zhì)上理解進(jìn)而接受、消化。

三、反思意識(shí)

很多學(xué)生總是給老師反映，自己上課能聽(tīng)懂，但卻不能獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？究其根源，就是缺乏解題反思。從學(xué)生方面考察，多數(shù)學(xué)生解題活動(dòng)僅僅停留在機(jī)械模仿或者淺層創(chuàng)造階段，解題只是為了完成作業(yè)或是追求量的積累，幾乎沒(méi)有解題反思的習(xí)慣；從教師方面考察，部分教師的解題教學(xué)只是讓學(xué)生知其然，往往缺乏知其所以然的精辟分析和畫(huà)龍點(diǎn)睛式的總結(jié)，在方法上更缺少解題反思的指導(dǎo)。

所謂反思意識(shí)，就是教師在解題教學(xué)中通過(guò)思維方法上的對(duì)比、評(píng)價(jià)、技能技巧上的歸納、總結(jié)、思想情感上的啟示、陶冶，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)成為一種有目標(biāo)、有策略的主動(dòng)行為，而不僅僅停留在簡(jiǎn)單接受與模仿的低層次上。只有教師有意識(shí)的反思演示、言傳身教才能喚醒學(xué)生的反思意識(shí)，學(xué)生才能養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣，才能勇于質(zhì)疑、挑戰(zhàn)權(quán)威！

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”反思是對(duì)思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)知和檢驗(yàn)的過(guò)程，是一種探究和特殊的再概括，更是一種創(chuàng)新，具有較強(qiáng)的研究性。在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)反思，無(wú)疑能提升學(xué)生以及教師本身的思維水平，我們務(wù)必踐行。

案例3.（蘇教版選修2-1第66頁(yè)第10題）

已知雙曲線x2-■，過(guò)點(diǎn)P（1，1），能否作一條直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，使P為線段AB的中點(diǎn)？

反思方法：通常本題可用待定系數(shù)法來(lái)完成，首先設(shè)直線方程（分斜率存在和不存在兩種），然后聯(lián)立雙曲線方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)去求解斜率即可。那么還有其他方法嗎？有！設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)差法求直線斜率。還有其他方法嗎？還有！其實(shí)還可運(yùn)用參數(shù)方程完成本題。

反思題目：本題能否放在橢圓中，能否放在拋物線或者圓中呢？經(jīng)分析不難知道也可以。

反思結(jié)論：本題用點(diǎn)差法求直線斜率，還得到很重要的結(jié)論——圓錐曲線中點(diǎn)弦的斜率公式。

1.在雙曲線■-■=1中，已知弦AB中點(diǎn)P（x0，y0），則弦所在直線方程的斜率（假設(shè)存在）k=■·■.

2.在橢圓■+■=1中，已知弦AB中點(diǎn)P（x0，y0），則弦所在直線方程的斜率（假設(shè)存在）.k=■·■.

3.在拋物線y2=2px中，已知弦AB中點(diǎn)P（x0，y0），則弦所在直線方程的斜率（假設(shè)存在）k=-■.

四、應(yīng)用意識(shí)

新課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)人人學(xué)“有用”的數(shù)學(xué)，這種學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成需要教師合理有效地開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)得以實(shí)施和加以體現(xiàn)。在解題教學(xué)中開(kāi)發(fā)其應(yīng)用價(jià)值，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，教師須重視數(shù)學(xué)知識(shí)在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用價(jià)值。

事實(shí)上，人類(lèi)孜孜追求的科學(xué)文化知識(shí)特別是自然科學(xué)的各種規(guī)律、定理、結(jié)論都從人類(lèi)實(shí)踐中來(lái)，也必將回到實(shí)踐中來(lái)去，接受其檢驗(yàn)。如此，數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)該是簡(jiǎn)單的就題講題，方法上的提煉總結(jié)和思維上的點(diǎn)撥啟發(fā)固然對(duì)學(xué)生的發(fā)展作用巨大，但是倘若忽略了例題習(xí)題的應(yīng)用價(jià)值，我們自始至終只能做一個(gè)教書(shū)匠，離教育家也就越來(lái)越遠(yuǎn)了。站的高，望的遠(yuǎn)，我想不無(wú)道理。

所謂應(yīng)用意識(shí)，就是教師在解題教學(xué)過(guò)程中聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，探究題中蘊(yùn)含著的生活經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，從而開(kāi)闊學(xué)生思維，欣賞和體味生活經(jīng)驗(yàn)的高度抽象美，甚至可以達(dá)到指導(dǎo)實(shí)踐、改變實(shí)踐的目的。數(shù)學(xué)例題習(xí)題很多都具有應(yīng)用價(jià)值，教師若能深入研究，結(jié)合學(xué)情適時(shí)開(kāi)發(fā)，一方面調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，一方面開(kāi)拓思維疆域，更重要的是回歸數(shù)學(xué)活動(dòng)的本源，可謂一舉三得！

案例4.已知a，b，m∈R+，并且a■.

應(yīng)用探究：教材上多用分析法證明此題，如果教師就此結(jié)束，就題講題，其效果、價(jià)值并不大，本題的應(yīng)用價(jià)值也沒(méi)有得到充分體現(xiàn)。實(shí)際上，本題蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)價(jià)值，比如我們?nèi)裟芤龑?dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際巧妙聯(lián)想，便可得到上述不等式蘊(yùn)含著糖水加糖更甜的活生生的生活經(jīng)驗(yàn)。這樣解題教學(xué)就變得富有意趣，教師的教學(xué)活動(dòng)也就上升到了更高的層次——人類(lèi)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的抽象總結(jié)與傳承！再者，從訓(xùn)練學(xué)生思維的方面考慮，這是典型數(shù)學(xué)抽象性的形象直觀化，化難為易，便于理解，更可以有效防止學(xué)生思維狹隘平淡，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性。

五、文化意識(shí)

長(zhǎng)期以來(lái)，應(yīng)試教育下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多地重視知識(shí)的傳授，而忽視了人文素質(zhì)的培養(yǎng)，這不僅直接導(dǎo)致了青少年巨大的學(xué)習(xí)壓力，而且導(dǎo)致目標(biāo)導(dǎo)向的偏離，造成學(xué)生生命認(rèn)識(shí)的畸形發(fā)展。這種顧此失彼的現(xiàn)象不利于學(xué)生對(duì)生命的完整理解，而且也壓抑了學(xué)生個(gè)性的發(fā)展與自身創(chuàng)造潛能的開(kāi)發(fā)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)是人類(lèi)的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。主流數(shù)學(xué)教育思想已經(jīng)達(dá)成共識(shí)：數(shù)學(xué)教學(xué)要以知識(shí)整合為載體，發(fā)揚(yáng)人文精神，傳承人類(lèi)文明，提升人文素養(yǎng)。我想，解題教學(xué)也應(yīng)如此。

人文素養(yǎng)的提升，不僅在新授課上，在解題教學(xué)活動(dòng)也能開(kāi)展。這就需要教師具有文化意識(shí)，首先表現(xiàn)在選題上。我國(guó)是文化積淀非常深厚的國(guó)度，教師可以適當(dāng)編制和選取蘊(yùn)含祖沖之的圓周率、劉徽的極限思想的習(xí)題，已經(jīng)滲透含有古代著作《九章算術(shù)》、現(xiàn)代陳景潤(rùn)的“歌德巴赫猜想”等中國(guó)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題。相信，這些豐富的背景資料會(huì)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的美妙、數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的光輝歷史。

教師展現(xiàn)文化意識(shí)還表現(xiàn)在探究習(xí)題的淵源和發(fā)展上，適度為學(xué)生介紹習(xí)題蘊(yùn)含的“文化因子”，引領(lǐng)學(xué)生感悟和思考其中包含的人文精神，有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、對(duì)人類(lèi)文明成果的熱愛(ài)，增加文化內(nèi)涵，培養(yǎng)他們?yōu)榭茖W(xué)獻(xiàn)身的精神。

從近幾年各地的高考試題看，湖北卷命題圍繞這一方面做得尤為突出。

案例5.（2012湖北理科第10題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑，“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈■。人們還用過(guò)一些類(lèi)似的近似公式。根據(jù)π=3.14159…判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（ ）

A.d≈■ B.d≈■

C.d≈■ D.d≈■

評(píng)注與賞析：

《九章算術(shù)》是我國(guó)一部流傳至今的古代數(shù)學(xué)典籍，據(jù)考證，大約成書(shū)于東漢初期，作者姓名不詳。這部中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的經(jīng)典著作，總結(jié)了我國(guó)先秦至西漢的數(shù)學(xué)成果，形成了以問(wèn)題為中心的算法體系。魏晉時(shí)期，杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于魏景元四年（263年）首次注釋《九章算術(shù)》。該書(shū)是我國(guó)傳統(tǒng)文化的一部分，有著鮮明的特色，是世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的一支奇葩。《九章算術(shù)》是一部問(wèn)題集形式的算書(shū)，共有246個(gè)問(wèn)題，按不同算法類(lèi)型分為九章。

本題“開(kāi)立圓術(shù)”出自《九章算術(shù)》第四章有關(guān)求解球形的體積問(wèn)題。劉徽借鑒此書(shū)并提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法，利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果。本題蘊(yùn)含濃厚的文化因素，選題于中國(guó)古典數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》考察球的體積公式以及估算，令人眼前一亮，絕對(duì)是一道好題！

結(jié)束語(yǔ)

羅增儒教授在他所著的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中，認(rèn)為“分析典型例題的解題過(guò)程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑”，而學(xué)會(huì)解題有四步驟基本程式：“簡(jiǎn)單模仿”、“變式練習(xí)”、“自發(fā)領(lǐng)悟”及“自覺(jué)分析”。欲使學(xué)生順利地從“簡(jiǎn)單模仿”上升到“自發(fā)領(lǐng)悟”及“自覺(jué)分析”的高級(jí)階段，我想，教師在解題教學(xué)中應(yīng)該具有以上五種解題教學(xué)意識(shí)。