創設有效教學“支點”提高課堂教學效益

摘 要：教師之教，重在創設有效的教學“支點”。在數學教學中，教師應注意通過提問、講解、歸納、示范等，引導學生積極參與學習活動。為此，要創設興趣“激發點”——誘發求知欲望，布設思維“易混點”——糾正思維偏差，化解知識“重難點”——探究拓展延伸，深挖習題“生長點”——啟發思考延伸，從而提高課堂教學效益。

關鍵詞：數學課程；有效教學；教學支點；教學效益；案例分析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）09-0064-04

《數學課程標準》倡導“教師應激發學生的學習積極性，為學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。”這就要求教師必須給學生創設有效探究數學的“支點”，讓其撬開自主探索數學殿堂的大門，真正獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。

一、創設興趣“激發點”——誘發求知欲望

《課程標準》指出，“數學是人類生活的工具；數學是人類用于交流的語言；數學能賦予人創造性；數學是一種文化。”從學生已有的生活經驗出發，“選擇學生身邊的、感興趣的事物，提出有關的數學問題”。努力為學生創設一個“生活化”情境，以豐富多彩的形式展現給學生，讓學生在具體的情境中學習、體驗和理解數學，使學生感受到數學與生活的聯系——數學無處不在，生活處處有數學。

案例1浙教版《數學》九年級上冊第2章第4節《二次函數應用》，如何構建二次函數模型求最大值？筆者設計了如下開場白：

師：已知周長為60米的長方形，什么時候面積最大？最大面積是多少？

生（脫口而出）：是正方形時面積最大，最大面積為225平方米。

（說明：學生由經驗可知，周長一定時的長方形面積的最大值是S正方形，故而迅速作出回答）

師：若一邊靠墻，其余三邊總長為60米的長方形什么時候面積最大？

生（很多同學根據原有經驗，仍馬上回答）：也是正方形時。

師（追問）：那么最大面積是多少？

生（通過簡單計算）：邊長為60米÷3=20米，S=202=400平方米。

師（故弄玄虛）：老師如果能根據題目中的條件，設計出一個面積大于400平方米的長方形，你們信不信？

生（眾）：不可能。

師：不信，你們看：如圖1，當垂直于墻的一邊長為12米，另一邊長為36米時，滿足周長60米，長方形的面積為432平方米，大于400平方米。

生（眾）：怪了！還有更大的？

學生驚詫中……

師（看時機到，追問）：這種情況下，最大面積到底是多少呢？該怎樣求呢？

生（部分醒悟）：噢，知道了，需要建立函數表達式……

至此，師生帶著問題共同踏上探索之旅……

【說明】此案例中，學生用了想當然的做法，不顧條件地隨意遷移了自己的經驗，實際上這個信息與原有的知識經驗發生了沖突，通過教師的一連串引導，好似“仙人指路”，在學生腦海中激發了思維的漣漪，從而把知識的甘泉注入到他們的心田，余味悠長，方法將扎根于學生腦海中。可見，教師在作預案時，在指導思想上要找準出發點：一要從學生的原有認知出發，找準學習的新起點；二要從學生的生活經驗出發，找準學習的興趣點；三要從學生新舊知識的聯系點出發，找準新知識的生長點。

二、布設思維“易混點”——糾正思維偏差

英國心理學家貝恩布里說過：“差錯人皆有之，而作為教師，對學生的錯誤不加利用則是不能原諒的。”初學新知，出現認知偏差在所難免，若一味圍追堵截學生的錯誤認識，往往適得其反，此時不妨沉下心來，把錯誤為己所用，通過師生討論，引發學生的再度思考，讓學生在自我肯定與否定中，走出迷茫，走向澄明，勝過教師的千言警示。

案例2浙教版《數學》八年級上冊第2章第3節，學習《等腰三角形的判定》后，復習課上，教師發現有一道題很多學生都做錯了，題目如下：

如圖2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內的一點，且OB=OC，求證AO⊥BC。

出示題目后，教師先讓學生說一說自己的思路。

生1：因為OB=OC，所以AO平分∠BOC。再由等腰三角形“三線合一”即可證得。

師：用OB=OC為什么能說明AO是∠BOC的平分線？

生1：（理直氣壯）到角的兩邊距離相等的點在角平分線上啊！

生2：你錯把OB、OC當作距離了。我認為，可以取線段BC的中點D，連接OD。由AB=AC，進而由等腰三角形“三線合一”的性質即可證得垂直。

師：（慢慢地）這個方法很簡明啊……

生3：（迫不及待地）我覺得他的證法不妥。連接OD，并不代表A、O、D三點共線啊！

（“一石激起千層浪”，學生恍然大悟。）

師：很好！那么如何來證明這三點共線呢？

生4：可以不用證明三點共線的，延長AO交BC于點D，這樣就說明了A、O、D三點是在一條直線上。再利用“SSS”證明△AOB≌△AOC，利用等腰三角形“三線合一”即可證明。

（大家紛紛向生4投去贊賞的目光。）

師：不錯！通過延長AO巧妙地避免了“三點共線”問題。還有其他方法嗎？

……

【說明】此案例中，學生能意識到AO與“三線合一”有關，體現了學生的直覺思維水平，但一些學生把直覺當成已知條件，如未加證明便默認A、O、D三點在一條直線上，或AO平分∠BOC。因此，教師有必要引導學生明晰直覺與邏輯論證的關系：直覺是發現的先導，解題方向往往產生于直覺，但還需要對直覺進行邏輯論證。這樣，在教師的寬容、鼓勵、引導下，學生的思維火花得以點燃，得到了更多的收獲，也增強了學生學習的積極性和自信心。由此可見，教師在作預案時，在課型及內容上要找準落腳點：選擇讓學生“討論”時，對概念的理解中容易出現的易錯點、易混淆點、易忽略點、易忘點及學生作業中帶有普遍性的問題應作為教學預設決策的首選。

三、化解知識“重難點”——探究拓展延伸

在課堂教學中，對每章節的重要內容進行剖析時，用探究式提問重點內容，有時也是難點內容，要求學生重點掌握知識要點，可以從不同角度對知識進行闡述。探究式提問可以是多維的，可對知識的內容進行拓展和延伸，也可引導進行一題多解，培養學生發散思維，還可對問題進行重新整合或改編等。

案例3浙教版《數學》八年級下冊第5章第6節，教材中沒有對中點四邊形的知識內容直接介紹，但這一知識點在中考中占有重要的地位。教材中是以例題的形式來呈現中點四邊形的：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。這節知識點具有單一性，僅是三角形的中位線性質的探究，并且教材中沒有給出太多的學習材料，所以就這節內容可以多設計幾個探究問題，以問題為驅動、引領學生共同探究中點四邊形的性質和應用。

問題1：如圖3，點D，E分別是△ABC邊AB、AC的中點，若DE=2，∠C=32°，則BC= ，∠AED= .

問題2：如圖4，若點M是△ABC內一點，若D、E、F、G分別是AB、AC、MB、MC的中點，試證明四邊形DFGE是平行四邊形。

問題3：順次連接四邊形ABCD的四邊中點E、F、G、H，說明四邊形EFGH是平行四邊形。

問題4：順次連接矩形ABCD的四邊中點E、F、G、H，則所得四邊形EFGH是 ，試證明。

問題5：順次連接等腰梯形ABCD的四邊中點E、F、G、H，則所得四邊形EFGH是 ，試證明。

問題6：順次連接菱形ABCD的四邊中點E、F、G、H，則所得四邊形EFGH是 ，試證明。

問題7：順次連接正方形ABCD的四邊中點E、F、G、H，則所得四邊形EFGH是 ，試證明。

問題8：若順次連接四邊形ABCD的各邊中點，所得四邊形EFGH是菱形，則原四邊形的對角線應滿足什么關系？

問題9：若順次連接四邊形ABCD的各邊中點，所得四邊形EFGH是矩形，則原四邊形的對角線應滿足什么關系？

【說明】此案例中，在原題基礎上進行層層變式推廣，適當改變條件或結論，探索問題實質的變與不變，揭示問題實質與條件、結論之間的內在聯系。使學生隨時根據變化了的情況積極思索，迅速想出解決問題的辦法，從而開拓學生的視野，激發學生的求知欲，培養學生的探索精神和創新意識。因此，選取例題時，需要教師對課程標準、教材、考試走向有深刻的理解，進而做好選擇討論例題的決策，力爭所選討論的課題以歸納為主。做到討論一道題解決一類題，并能突出討論時的一題多解和問題的發散方向。

四、深挖習題“生長點”——啟發思考延伸

一個人的智慧畢竟是有限的，不管你做了多少準備，設計得怎樣充分，學生在課堂上總會逃脫你的預設方案，產生各式各樣的問題，當然教師的最大愿望是課堂教學按照預設目標順利進行，有些教師怕節外生枝完成不了教學預設，對意外思路和意外問題的不確定或不重視而加以排斥。殊不知，這樣不僅使一些極具探索意義的問題從手邊“滑過”，也在不經意間使學生的求異思維和創新思維被束縛、禁錮，敢于沖破傳統的新思想、新觀念被排斥甚至扼殺，作為學習主體的學生的主動性無從發揮。事實上，有些課堂生成處理得好，會有意想不到的效果。

案例4浙教版《數學》九年級下冊第3章第2節《三角形的內切圓》的教學課中，教師講完范例后出示練習：

如圖5，△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，且AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求⊙O的半徑。

生1：老師，可以采用課本中例題的解題方法。設CF=CE=x，則有AF=AD=5-x，BE=BD=12-x。由于AB=AD+BD=AD=5-x+12-x=13，解得x=2。因為△ABC是直角三角形，由條件可證四邊形CEOF是正方形，所以這個△ABC的內切圓半徑是2。

師：很好！

（老師剛說完，生2舉手了）

生2：我是這樣思考的，CF=CE=x，AF=AD=y，BD=BE=z，根據題意可列方程組求解。

師：很好！這種方法既簡潔又明快，值得同學們學習。

生3：老師，因為AC=5，BC=12，AB=13，可知△ABC是直角三角形，可得到四邊形CEOF是正方形，這就是說，CF、CE的長就是該圓的半徑，因此⊙O半徑應為■（BC+AC-AB）。

（生3的回答，讓全班學生興奮起來）

生4：我通過證明，生3的發現是正確的。

師：對！在Rt△ABC中，∠C=90°，若設內切圓半徑為r，則有r=■（a+b-c）。

生5：老師，我還有一種方法，利用面積求半徑。

師：說說看。

生5：連接AO、BO、CO，則有S△AOC+S△AOB+S△BOC=S△ABC，即■ar+■br+■cr=■ab，所以r=■。

師：好！生4從面積的角度也能計算出三角形內切圓的半徑，方法獨特，思維巧妙，這就是人們常說的“神通廣大”的面積法。

師：（追問）上面我們用兩種方法求出了直角三角形的內切圓的半徑，一種是r=■（a+b-c），另一種是r=■，同學們感覺不到（a+b+c）和（a+b-c）的魅力嗎？

生（眾）：（a+b+c）和（a+b-c）能構成平方差公式。

師：好，大家把■（a+b-c）=■證明看一看。

（全班同學都躍躍欲試，速度最快的一個同學化完后，跳了起來，情不自禁地高喊是a2+b2-c2。）

師：很好！看來大家都要得大獎了，我們發現了勾股定理的一個嶄新的證明。

（正當很多學生都沉浸在幸福的喜悅之中，一位同學舉手了。）

生6：老師，剛在我計算時，不留意發現AD·BD的結果與三角形的面積相等，這是巧合嗎？

師：（追問）請同學們換幾組數據，如AC=3，BC=4，AB=5，或AC=5，BC=12，AB=13，也有這個結果嗎？以小組合作的形式驗證。

（此時學生全員動手計算）

生7：我們小組通過計算，發現了生6的發現不是巧合，是對的，老師，我們能證明這個結論嗎？

師：能，我們一起來試一試。（證略）

師：同學們，我們今天的收獲不小，同學們積極參與討論，積極回答問題，人多力量大。這節課我們……

【說明】此案例中，出現兩次“意外”（生5的解法和生6的發現），不在教師的預設之中，作為教師是選擇預設，還是選擇生成。面對突如其來的問題，教師憑借多年的教學經驗，及時采用了一段“追問”的教學方法。對生5的解法，教師敏銳地觀察到了（a+b+c）和（a+b-c）的魅力，引導學生計算并發現了勾股定理的一個嶄新的證明；對生6的發現，教師要學生：先用其它數據驗證，再證明這一猜想，體現了從特殊到一般的數學思想方法。試想，若就此打住，學生的思維就會止步，此時若洞察時勢，來一個追問，或許能激活學生的思維因子。如此，才能撥動心靈的琴弦，啟迪智慧的火花，由淺薄引向深刻，會收到意想不到的效果。

著名教育家蘇霍姆林斯基認為：“真正的學校乃是一個積極思考的王國。”課堂教學中創設有效教學“支點”既是一門學問，更是一門藝術。它是教師教學智慧和教學藝術的體現，是教師真情投入、深情流露、適時捕捉的結果。豐富的資源、多變的信息、動態的課堂，對教師的教學能力提出了前所未有的挑戰。教師只有不斷地提升教育智慧，正確地把握引導契機，才能成為新課程的有效推進者、學生學習和發展的引領者和促進者。

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