高中數學中“應用問題” 的教學感悟

摘 要：重視數學應用是現代科學技術發展的需要，是數學教學改革的必然。新課程高中數學教材突出了“從生活中來，到生活中去”的課程理念。高中數學課程目標之一，就是培養學生解決實際問題的能力，要求學生會提出、分析和解決有實際意義的數學問題，使用數學語言表達與交流，形成應用數學的意識和能力。為此，教學要注重“應用問題”情境創設，靈活運用“應用問題”因材施教、延續課堂學習，把培養學生的數學應用意識和解決問題能力落到實處。

關鍵詞：高中數學；應用問題；教學感悟

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）09-0059-03

人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著的《普通高中課程標準實驗教科書· 數學》2007年2月第3版，較比之前的教材，“應用數學”意識顯著增強了。在教材編排上隨處可見“應用數學”的字眼：章前圖的設計說明數學來源于實際；章前引言用實際問題導出；閱讀材料很多是介紹數學模型及應用方法；習題也適當地增加了聯系實際的題目。教材的編寫充分體現了數學不僅來源于實踐，而且是從事生產、生活、學習和研究的一門基礎學科，是解決實際問題的一種工具。因此，培養學生解決實際問題的能力是高中數學的學習目標之一，要求學生會提出、分析和解決帶有實際意義或與相關學科有聯系的數學問題，使用數學語言表達問題，進行交流，形成應用數學的意識和能力。在這里想談談自己在教學實踐中的一些感悟。

一、改變理念，重視“應用問題”

理念是一個思想認識問題，也是一種心理傾向，其重在自覺性、自主選擇性，它需要在較長時間中通過一定量的實踐才能形成。

我國舊的數學教材的編寫受前蘇聯教育模式的影響較大，在體系結構上追求嚴格的理論推導和以論述為主，理論要求偏高，對數學知識應用內容涉及較少。舊的數學教材使用之久，造成數學教師“只注重數學理論教學”的心理傾向，從而忽略了“應用數學”的教學，致使學生缺乏甚至逐漸喪失應用意識，從而導致學生的學習與社會實踐嚴重脫節，何談應用數學解決實際問題呢！

自2009年開始高中數學新課程教學的研究與實踐以來，我深刻地體會到：重視“數學的應用”是社會發展的必然，數學教學改革勢在必行。新課程教材大部分章節的引入都是從實際中提出問題，并且在每節的例題、練習題中增加了大量的聯系實際的內容。如集合與簡易邏輯以運動會參賽人數的計算問題引入；數列以一個關于“國際象棋的傳說故事”引入；指數函數以“某細胞分裂的次數與個數的關系”引入。新課程教材還富有創意地開設研究性課題和閱讀材料，如數列中的閱讀材料“有關儲蓄的計算”和研究性課題“分期付款中的有關計算”等，就是為了培養學生的數學應用意識和能力。新課程教材內容使我們認識到：現代科學技術的高速發展帶動了信息時代的到來，在這樣一個時代，數學出現了技術化的傾向，它的全方位滲透正日益轉化為人們在生產和日常生活中所必須具備的技術手段和工具，社會對數學應用的需求和數學的社會化功能是當今時代的一個突出的特點。站在新世紀的數學教育的角度討論高中數學的應用問題，可以使我們的認識更加深化，更加深入地領悟數學的價值所在，更自覺地指導我們的教學行為。

二、創設情境，巧用“應用問題”

與原來的教材相比，新課程教材也增加了章前圖的解說和一些聯系實際的例題、習題，以及與之相關的閱讀材料，這些都是貼近學生實際生活的應用問題，教學中可充分利用這些素材，為探究數學問題創設情景，激起學生“疑而未解，又欲解之”的強烈愿望，進而轉化為一種對知識的渴求，引導學生的思維不知不覺地融入問題的思考與探索當中，使學生順其自然地成為課堂學習的主人。

如果把這些素材用現代教學手段進行適當的組合，更能收到事半功倍的良好效果。例如：在講解三角函數中《函數y=Asin（ωx+φ）的圖象》這節課時，注意到教材第59頁習題1.5 B組 第2題.“彈簧掛著的小球做上下運動，它在t秒時相對于平衡位置的高度h厘米由下列關系式確定：h=2sint+■.以t為橫坐標，h為縱坐標，作出這個函數在一個周期閉區間上的圖象，并回答下列問題：（1）小球在開始振動時（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？（3）經過多少時間小球往復運動一次？（4）每秒鐘小球能往復振動多少次？”。我覺得這道題是能夠形象地解釋函數y=Asin（ωx+φ）的初相、振幅、周期、頻率的一個實際問題，于是就把這個彈簧振子的振動過程做成一個Flash課件，創設問題的情景，激發學生們對數學知識的學習熱情，促使學生積極參與活動，把理論知識置于實際問題當中，使整個教學過程轉化為學生“置身于實際問題→發現問題→提出問題→解決問題→發現新問題”的能力培養過程。這樣通過實際問題創設問題情境，將數學理論與實踐融為一體，使教學活動在知識和情感兩條主線的相互作用下完成，知識通過情感功能更好地被學生接受、內化，取得了意想不到的教學效果。

三、因材施教，活用“應用問題”

高中數學新課程教材把培養學生應用數學的意識貫穿于始終，但是在實際教學當中，如果只是照本宣科，會讓學生感覺到教師還是在“生搬硬套”，感覺到自己的學習仍然是讀死書、死讀書，就不會很好地落實新課程理念。因此，為了更深入地理解、落實新課程這種“應用意識”的思想，在教學中，我們可以靈活地利用天時地利，設計教學方式、方法。比如：我們學校附近有一個現代化的大公園，公園里有各種各樣幾何形狀的建筑，在講解《普通高中課程標準實驗教科書·數學2（必修）》“第一章第一節 空間幾何體的結構”時，我把學生們帶到公園，通過實物介紹多面體、旋轉體以及柱、錐、臺、球等幾何體的概念及其結構特征。在接下來講解“第二節 空間幾何體的三視圖和直觀圖時，又把在公園里所見的典型的建筑輪廓抽象出幾何體的直觀圖，再通過課件形象地投影出它們的三視圖，讓學生很自然地將實際問題抽象成數學問題，也很自然地將數學知識應用于生活實踐。

另外，為了使用范圍較廣，教材所涉及的應用問題大多是不同地區的學生都常見熟知的問題，所以實際問題的背景受到了一定的局限性。因此，我們在教學當中，可以根據本地區的實際設計問題的背景，比如：臨海地區可以設計與“海洋”、“漁業”有關的應用問題，山區的可以設計與“高山”、“溝壑”有關的應用問題，城市的可以設計與“高樓大廈”、“游樂園”等有關的應用問題，農村的教學中可以設計與“農業生產”、“脫貧致富”有關的應用問題，等等。這樣就能做到因材施教，不僅讓應用問題活靈活現地呈現出來，而且能夠真正地觸動學生，喚起學生學習、探究的沖動，還能誘發學生將所學的知識應用到實踐中去，以充分發揮他們的想象力和創造力，樂于實踐、服務社會。

四、學習延續，妙用“應用問題”

《全日制普通高中數學教學大綱》（試驗修訂本）曾對數學作了如下的解釋：“數學是研究空間形式和數量關系的科學，數學能夠處理數據、觀測資料、進行計算，推理和證明，可提供自然現象和社會系統的數學模型。”因此，數學教學中要培養學生數學應用意識和能力，數學的建模是關鍵。而我們教學的對象是學生，應從學生的實際情況分析，學生長期呆在教室里，他們的閱歷有限，對應用問題的背景不熟，難以從中構建出數學模型，也就列不出正確的數學表達式，阻礙了對實際問題的解決，于是就容易放棄對應用問題的解決。

就拿2012年河北省高考理科數學試卷第18題來說，原題如下：

某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售。如果當天賣不完剩下的玫瑰花作垃圾處理。

（Ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式；

（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。

（ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，x表示當天的利潤（單位：元），求x的分布列、數學期望及方差；

（ⅱ）若花店一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由。

由于一些學生缺乏實踐經驗，在解答該題第（Ⅱ）問時，不知從哪個方面比較（即建模），才能選擇花店每天購進16枝還是17枝玫瑰花更合適。于是耽誤了很多考試時間，還解答得一塌糊涂，也影響了整個試卷的完成質量。

增加“閱讀材料” 、“實習作業”和“研究性課題”是高中數學新教材的又一大特色，其用意是培養學生實踐能力及創新精神。它強調學生的動手能力，把數學學習從教室走向了社會，使學生在充滿合作機會的群體交往中，學會溝通、學會互助，學會合作、學會分享，實現知識、情感、態度和價值觀的完美結合。

因此，教學中巧妙地利用教材中“實習作業”和“研究性課題”，讓學生親身經歷、體驗實際問題的情景，這無疑是擴展學生的視野、增加學生閱歷的有效途徑。在教學過程中，我對這一部分內容采用課堂與課外相結合的原則，鼓勵學生在學習數學基礎知識的同時，充分利用節假日，做好相關知識的研究性學習計劃，并安排課時進行交流，論證計劃的可實施性。鼓勵學生走向社會進行社會實踐活動，寫出學習報告和小論文，并進行評比等等。當學生親自利用所學數學知識去解決了一個個的實際問題時，不但對他們所學知識進行了反饋與鞏固，還使他們的數學建模意識在實踐當中逐漸清晰、熟練起來，同時學習興趣進一步被激發，學生的探索精神和創新能力得以培養，并成為后續學習的內驅力。

總之，應用型問題有著豐富的社會信息，多視角的橫向聯系，多層次的能力要求，已成為學生觀察了解社會、認識評價社會的一個窗口，是學生認識數學、學習數學、應用數學、喜愛數學的重要媒介和載體。高中數學教材是數學高考改革的一個導向，也是中學數學教育的一個方向，因此，我們要做好數學應用教育的研究，提高數學教育水平和實效，開創數學教育新局面。教學應該把培養學生的能力落在實處，使每個學生的數學應用意識和能力都有長足進步，這是數學教師的職責和任務。

參考文獻：

[1]人民教育出版社·課程教育研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學[M].2007.

[2]考試與招生編輯委員會.2012年全國普通高等學校招生統一考試試題與參考答案[M].2012，（005）.