利用算法多樣化穿行于算理與算法間

王永鋒

我國數學課程一直將數的運算作為小學數學的主要內容，重視培養學生的運算能力，并且取得了優秀的成績，積累了很多寶貴的經驗。然而，長期以來由于對書面考試（我們分析了一些書面試卷‘縣級期末試卷樣本，書面考試內容中50%～75%涉及計算內容）追求，人們更多強調計算得又對又快（當然，我們并不否認這種運算技能的重要性）。相關實踐表明，計算內容（筆算為主）即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用。這就十分清楚地揭示了數學課堂教學中的一個普遍現象：對于計算教學（筆算），只要讓學生把法則背誦下來，反復操練和使用算法就可以達到又對又快。這種現象有學者把它稱為“未理解就熟練”。相信大家都會認同這樣一個觀點：計算教學不應僅僅著眼于技能的形成，而應發展學生對數的性質的理解力和洞察力，培養學生的數感，使學生真正理解算理，同樣也承擔著培養過程能力（如經驗、思考、探究、推理、交流等）、數學思維能力、問題解決能力的重任；積累數學活動經驗，為后續學習奠定基礎。因此，我認為，計算教學應強調學生在已有知識經驗的基礎上，理解算理、構建算法。

在整個計算內容的學習過程中，很多教師已認識到借助直觀情境、操作幫助學生理解算理、構建算法的重要性。在實際教學中，教師也會設計許多直觀情境和操作活動，但這些情境和動手操作就能真正讓學生理解計算的算理嗎？在許多教師的教學實踐中，直觀情境和操作何以成了可有可無的擺設？我們是否過分強調我們教師的作用，而忽視了學生的認知發展水平和已有的經驗？學生經驗、算理和算法應如何結合？在這一命題下，我們可以提出一系列問題：對于計算，學生已有經驗中所蘊含的想法有哪些？什么是算理？學生想法中所呈現的算理又是什么呢？算理對構建算法有什么價值？我們在教材和教學中如何幫助學生理解算理并過渡到算法？算法多樣化在算理與算法之間起了什么作用？理解算理、構建算法是否只是一節新授課的任務？本文試圖通過案例分析作一些嘗試性論述。

一

算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中的思維方式，是解決為什么這樣算的問題。算法就是計算的方法，主要是指計算的法則，就是簡約了復雜的思維過程、添加了人為規定后的程式化的操作步驟，主要是解決算得方便、準確的問題。如計算12×3時，就是根據數的組成和乘法的意義，再根據推廣的乘法分配律進行演算：

這就是算理。計算中根據乘法的意義，并利用乘法的分配律，這樣保持運算的持續性。簡單地說，算理可理解為：運算的意義，數概念背后所蘊含的十進制、位值制思想，運算的性質與定律，運算之間的互逆關系。上面的計算可以用豎式表示，即：

當學生進行了一定量的練習以后，發現了計算的規律：一位數與多位數的個位相乘得幾個一，一位數與多位數的十位相乘得幾個十……最后再把幾個乘積合并，這是學生感悟算理的過程。然后進行優化計算過程，為了便于計算一般寫成簡化豎式形式，在此基礎上引導學生抽象概括出普遍適用的計算法則：用一個因數從低位起開始，分別去乘另一個因數的每一位，確定積的定位。這就是算法。

算理與算法有這些關系：算理是客觀存在的規律，算法卻是人為規定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉與概括，它們是相輔相成的。然而，理解算理、構建算法并不能一味強調數學的科學性和教師指向明確的預設，更多地要考慮學生的認知發展水平和已有經驗。在學生的學習過程中，學生有日常生活的經驗，有數學學習過程中積累的數學活動經驗，有他們對新知識理解最樸素的想法，等等。這一切的一切都隨著數學活動、學習情境而深入展現出“主動探索”，它具體表現在計算學習中的“算法多樣化”過程中。

二

1.學生經驗中所蘊含的想法有哪些

從本質上說，學生的數學學習過程是一個自主構建自己對數學知識理解的過程：他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和反思等，去建構對數學的理解。因此，在教學中我們要鼓勵學生自己探索如何進行運算，并嘗試說明自己這樣算的道理，在這些學生的想法中往往蘊含著算理和算法。

學生在自主探索運算方法的過程中，將運用已有的概念、定律、法則等嘗試解決新問題，這就是一個尋找“合乎道理”的運算方法的過程。這些多樣化的運算方法往往蘊含著學生心目中的“算理”，并且呈現形式是多樣的（如數的、圖的），解釋的途徑也不盡相同，對這些方法的比較和交流無疑為學生理解算理奠定了基礎。在此基礎上教師再加以總結歸納，學生對于算理的理解就會加深了。

對于“學生經驗中所蘊含的想法有哪些”的思考，推廣到計算教學的一般層面能給我們一線教師提供通識的策略。首先，要重視學生自主探索計算方法的過程，因為這種探索能喚醒學生與新知識相關的知識和經驗。在自主探索的過程中，能嘗試說明自己這樣算的道理，在這些學生的想法中蘊含著算理（算理的初步理解）。在多種方法呈現的基礎上，我們組織不同的學生對各種方法進行比較，讓學生明白“算法無所謂好與壞，而是看適合的范圍。通常一般的方法適用的范圍大，但計算過程不簡單；特殊的方法計算簡便，但適用的范圍小”。當然，在這樣的比較過程中，自然而然能凸顯其中蘊含的算理，其次，要鼓勵每位學生獨立思考，并運用自己的語言（可能是日常語言，也可能是科學語言）有條理地表達自己的思考。只有當每位學生參與了獨立思考，他們才能得到一種或幾種方法（或許一種也沒有），才能深入到運算知識的內部關系之中。我們相信，學生對每種方法的敘述，其中一定會有思考、思辨、分析、反思等數學思維的參與。最后，作為教師要不斷梳理各種運算的算理，特別是梳理課堂教學中學生常見方法背后蘊含的算理。這樣才能從容地面對學生的多種方法，才能引導學生分析、判斷各種方法的適用性。

2.通過多元表征的轉換理解算理、構建算法

在教學中，我們經常會使用口頭語言，并寫文字、符號，畫出圖形、圖像，還可能展示實物或數學模型，這些東西稱為數學的外部表征，即傳遞知識、思想而使用的外部交流工具。學生正是通過這些外部媒介來接觸原先不了解的東西，掌握、運用它們，然后向老師和同學描繪自己了解了的東西。美國教育心理學家布魯納認為，數學對象的表征方式有三種：活動性表征、圖性表征和符號性表征，并且它們按這樣的前后順序出現和發展。萊什在此基礎上將表征的方法發展為五種，分別稱為書面符號、口頭語言、操作性模型、圖形和實物。他認為，它們之間不一定存在發展的先后次序，主要應重視它們之間的轉換和相互影響，因為這種轉換和影響對于學生的概念形成和理解有重要的意義。

筆算教學的關鍵是將這五種表征方式有機結合，口頭表達是對直觀實物和圖形的描述；直觀圖形和實物則是對算理的直觀敘述，是對抽象算法的直觀說明，是對書寫形式化符號的直觀形象的解釋，即是“從實物到算式的‘形式化過程，從算式運算返回到實物解釋的‘尋找意義過程”。

3.理解算理和構建算法需要多長時間

借助于直觀的結構化材料理解算理、構建算法，最終應達到算法的熟練運用。這是一個長期的行為，而不僅僅只是第一課時中的“一次性”行為。在當前的教學中，所謂的理解算理就僅僅是一次操作學具，一次看懂直觀圖到理解豎式，操作學具只是片刻的裝飾，后續的練習甚至考試中很少再操作學具、再看學具的直觀圖。因此，學生對算理仍然沒有深刻理解，最終留給學生的仍然只是簡單的模仿、機械的計算，一旦涉及稍為復雜一些的計算（如一位數乘兩位數進位乘法、兩位數乘兩位數乘法），學生仍然不會。其根本原因仍然是沒有真正理解算理。

第一課時的“一次性”行為不可取，對每一道計算題都利用直觀圖示解釋和操作學具解決也不可取。理解算理和構建算法的時間要視學生對算理與算法之間的溝通情況而定。我們提倡在直觀圖示解釋和具體實物操作的基礎上，教師要引導學生聯系實物操作的方法和過程，在頭腦中進行類似的操作。這樣既可以幫助學生擺脫具體實物的束縛，又能讓學生對算理算法進行內化。通過一定量的經驗積累和適當的重復練習，相信理解算理和構建算法一定能達到雙向受益。?