巧用“數(shù)形結(jié)合”，提升學(xué)生思維力

羅銳

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將數(shù)學(xué)的定義從原來(lái)的“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)，逐漸抽象概括，形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程”改為“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”。

這樣的定義從本質(zhì)上凸顯了數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)可借助于圖形的性質(zhì)，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直觀的啟示，從而幫助學(xué)生理解。而將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，使幾何問(wèn)題代數(shù)化，就可以獲得精確的結(jié)論，促進(jìn)對(duì)形的直觀認(rèn)識(shí)，便于學(xué)生在量化過(guò)程中形成空間觀念。

這樣的定義，也符合小學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，小學(xué)生的思維從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，這時(shí)的邏輯思維是初步的，很大程度上仍具有具體形象性。所以小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)更多的是形象思維，這就需要科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合的概念，有不同的理解。在眾多理解中筆者比較認(rèn)同這樣一種說(shuō)法——數(shù)形結(jié)合就是在問(wèn)題解決中，將數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)和空間形式的形象直觀密切結(jié)合，調(diào)用代數(shù)和幾何的雙面工具，揭露問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，達(dá)到解題的目的。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾對(duì)數(shù)形結(jié)合有過(guò)形象的說(shuō)法：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！彼€指出“數(shù)缺形時(shí)少直觀、形少數(shù)時(shí)難入微”。

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)包含兩點(diǎn)內(nèi)容。第一，以形助數(shù)，在“數(shù)”上構(gòu)“形”。代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以借助形使抽象的數(shù)更直觀，從而利于學(xué)生理解。第二，由數(shù)思形，在“形”中覓“數(shù)”。以數(shù)想形，解決圖形問(wèn)題，通過(guò)尋找形與數(shù)之間的關(guān)系，使問(wèn)題得到解決。也就是說(shuō)要將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，讓數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)形結(jié)合中獲得問(wèn)題解決。數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法和解決問(wèn)題的策略，可以讓數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象美與學(xué)生思維的直觀性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力和思維力。

下面通過(guò)一些實(shí)例，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的方法。

一、數(shù)形結(jié)合能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成

1.代數(shù)概念要以形的直觀來(lái)促進(jìn)內(nèi)化

數(shù)學(xué)概念是抽象的，幫助學(xué)生建立概念必然要有許多感性材料作支撐，形成概念表象。教學(xué)中常采用歸納、分類(lèi)、比較的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，也可采用數(shù)形結(jié)合的思想展開(kāi)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，數(shù)的概念要以形的直觀來(lái)促進(jìn)內(nèi)化，形的概念要用數(shù)的真實(shí)來(lái)促進(jìn)感悟。在教學(xué)中運(yùn)用圖形提供一定的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形中的情景分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

【例1】在認(rèn)識(shí)多位數(shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)于數(shù)位概念的形成有一定的困難。為了突破教學(xué)上的難點(diǎn)，我們可以借助形的直觀來(lái)促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)。

[千百十個(gè)][（ ）]

（1） （2） （3）

這三組圖形在直觀性上也是逐步抽象的，先讓學(xué)生從數(shù)實(shí)物的活動(dòng)中能夠說(shuō)出多位數(shù)450，接著在計(jì)數(shù)器上認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)前面的形的概括，讓學(xué)生用方框定數(shù)位的方法寫(xiě)出450，最后抽象出450這個(gè)數(shù)。

2.幾何概念要以數(shù)的真實(shí)來(lái)促進(jìn)感悟

一些幾何概念的形成，僅僅靠學(xué)生直觀觀察是不夠的，這樣很難形成科學(xué)的認(rèn)識(shí)，因此，形的概念往往要通過(guò)數(shù)的量化來(lái)完成。比如，認(rèn)識(shí)面積單位、體積單位及圓的半徑（直徑、周長(zhǎng)）等幾何概念時(shí)，我們都需要充分利用數(shù)和數(shù)的計(jì)算結(jié)果來(lái)表達(dá)，通過(guò)數(shù)的大小幫助學(xué)生建立這些概念的空間觀念，讓幾何概念更清晰。

二、數(shù)形結(jié)合能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在規(guī)律的把握

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)重要方面就是關(guān)于算理、法則、規(guī)律的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)同樣包含許多規(guī)律性的知識(shí)。這些知識(shí)的學(xué)習(xí)和把握往往比較抽象和深?yuàn)W，數(shù)形結(jié)合可在一定程度上減緩學(xué)生認(rèn)識(shí)上的難度。

1.形讓數(shù)的規(guī)律更直觀

“形”有利于促進(jìn)學(xué)生理解計(jì)算的算理，算法便于操作，算理深?yuàn)W而抽象。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中通過(guò)物化的操作使抽象的算理形象、具體地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，使學(xué)生形成計(jì)算過(guò)程的表象，幫助理解算理。通常由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入，促使學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)芷鸬綆椭斫鈨?nèi)部意義的作用。

【例2】（口算除法）口算“42÷3”。

出示這樣的42支鉛筆，讓學(xué)生把它平均分給3位同學(xué)。課堂上學(xué)生是這樣分的：先一人分一捆，把剩下的一捆拆開(kāi)和單獨(dú)的2支合并，再每人分4支。在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合分鉛筆的過(guò)程，說(shuō)說(shuō)先分多少支？（30）再分多少支？（12）也就是說(shuō)，口算時(shí)先把42分成30和12，用30和12分別除以3，把得到的商加起來(lái)就是結(jié)果。從實(shí)際情境和直觀圖形中，學(xué)生很容易理解口算除法“分—除—合”的計(jì)算方法。

除法計(jì)算的過(guò)程、方法與等分鉛筆的操作相對(duì)照，直覺(jué)感知，有效地幫助了學(xué)生知其然，同時(shí)也使學(xué)生有了關(guān)于除法計(jì)算的數(shù)感。這樣，數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯思維得到鍛煉，算理得到澄清。

2.數(shù)使形的規(guī)律更細(xì)致

“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但有些隱含在內(nèi)的幾何規(guī)律卻不易被發(fā)現(xiàn)。只有把它轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的形態(tài)，歸結(jié)為較容易處理的數(shù)量關(guān)系式來(lái)研究，通過(guò)分析、判斷、計(jì)算，才能凸顯出來(lái)。

【例3】圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)。

我們?cè)谏钊胙芯空n本提供的學(xué)習(xí)素材，把握教材編排意圖，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出“圓柱體積=底面積×高”這一基本方法后，還及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度觀察推導(dǎo)直觀圖，讓學(xué)生思考：這個(gè)圖中，我們還可以把哪部分看做底面、哪部分看做高？在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)，上出示下面的對(duì)比圖：

在觀察分析的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生得出“圓柱的體積=側(cè)面積××半徑”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)也為學(xué)生解決問(wèn)題提供了更多的方法和策略。

三、數(shù)形結(jié)合能提高學(xué)生問(wèn)題解決的策略水平

1.形可形象地展示代數(shù)問(wèn)題，便于學(xué)生提取思路

抽象的數(shù)量關(guān)系通過(guò)看得清摸得著的圖表示出來(lái)，化隱為顯，化難為易，幫助學(xué)生理解、掌握，其實(shí)質(zhì)就是由形解數(shù)。在解題過(guò)程中，學(xué)生也可以自己畫(huà)圖，用形表達(dá)數(shù)量關(guān)系，進(jìn)入各自的認(rèn)識(shí)通道，展示有創(chuàng)造性的思維過(guò)程。

【例4】六（1）班同學(xué)參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，平均分為94分，其中男生的平均分為92分，女生的平均分為97分，求參加比賽的男生和女生人數(shù)比。

[92][97] [94][A][B][人數(shù)][男 女][分?jǐn)?shù)]

用學(xué)生易于觀察的條形統(tǒng)計(jì)圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系：用 表示男生， 表示女生；圖形的高度表示分?jǐn)?shù)，寬度表示人數(shù)，結(jié)合題意，全組平均分應(yīng)該在它們之間，用虛線標(biāo)出來(lái)。根據(jù)平均數(shù)移多補(bǔ)少的規(guī)律可以知道：圖中女生多出的分?jǐn)?shù)A移補(bǔ)到男生少了的分?jǐn)?shù)B，由此可以得到一個(gè)等量關(guān)系式：男生人數(shù)×（97-94）=女生人數(shù)×（94-92），再根據(jù)比例的基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)生就很容易看出解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。

2.形不僅能促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題，更有利于提升學(xué)生思維的靈活性

【例5】a2-b2=（a+b）（a-b）的推導(dǎo)。掌握這個(gè)計(jì)算規(guī)律對(duì)提高學(xué)生計(jì)算圓環(huán)面積有一定的幫助，我們可以結(jié)合圖形來(lái)推導(dǎo)。

[a][b] [b][a][a-b][a-b]

從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩下部分的面積就是a2-b2。（見(jiàn)上左圖）這部分的面積我們還可以像上右圖這樣觀察，這樣剩下的面積還可表示為：a×（a-b）+b×（a-b），根據(jù)乘法分配律可以計(jì)算出：a×（a-b）+b×（a-b）=（a+b）（a-b）。同一部分的面積用兩個(gè)不同的式子計(jì)算，它們表示的結(jié)果是一樣的，所以得出：a2-b2=（a+b）（a-b）。

【例6】生產(chǎn)一批零件，計(jì)劃每天生產(chǎn)50個(gè)，實(shí)際每天生產(chǎn)60個(gè)，這樣比計(jì)劃提前2天完成。這批零件有多少個(gè)？

解決這道題有多種方法，我們可以利用數(shù)形結(jié)合的方法把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積來(lái)計(jì)算，讓數(shù)量關(guān)系更直觀。

[B] [A][實(shí)際每

天60個(gè)][計(jì)劃天數(shù)][提前2天][計(jì)劃每

天50個(gè)]

用灰色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示計(jì)劃天數(shù)，寬表示計(jì)劃每天50個(gè)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就表示零件的總個(gè)數(shù)；用粗線條的長(zhǎng)方形長(zhǎng)表示計(jì)劃天數(shù)，寬表示計(jì)劃每天60個(gè)。根據(jù)題意，提前2天的意思就是原來(lái)2天生產(chǎn)的零件圖中A部分，和圖中B部分的面積是相等的，所以實(shí)際生產(chǎn)的天數(shù)就可以求出來(lái)：50×2÷（60-50）=10（天），60×10=600（個(gè)）。

從上面的幾個(gè)例子中我們可以發(fā)現(xiàn)，“形”有時(shí)可能超越了幾何圖形的范疇，應(yīng)該還包括數(shù)學(xué)的有形教具、生活中有形的經(jīng)驗(yàn)、一些已有的數(shù)學(xué)模型等。在研究“數(shù)”的問(wèn)題時(shí)，可以把數(shù)的形態(tài)轉(zhuǎn)化成有對(duì)應(yīng)關(guān)系的形的狀態(tài)，利用“形”的直觀、形象的特點(diǎn)把抽象的數(shù)的概念、數(shù)量關(guān)系等通過(guò)圖形的特征或動(dòng)態(tài)變化充分地表現(xiàn)出來(lái)，將抽象的問(wèn)題具體化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生理解、掌握?！靶巍睘椤皵?shù)”提供了直觀思維的方式，提高了小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3.數(shù)能讓幾何問(wèn)題具體化，便于學(xué)生尋找表象后的實(shí)質(zhì)

學(xué)生在解決幾何問(wèn)題時(shí)往往習(xí)慣于直觀觀察圖形，試圖每題都能通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)，用公式解決，其實(shí)有時(shí)一些圖形題要充分利用數(shù)、式的形式來(lái)表達(dá)圖的實(shí)質(zhì)。

圖形知識(shí)的學(xué)習(xí)，不能僅僅停留在空間觀念的形成和利用公式的計(jì)算上，而要在解決圖形問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和發(fā)展學(xué)生的思維能力上。如在學(xué)習(xí)《圓的面積》時(shí)，往往只停留在推導(dǎo)出面積計(jì)算公式就行了，如果能充分利用數(shù)和式來(lái)表達(dá)推導(dǎo)過(guò)程中圖形所蘊(yùn)含的特征，將有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。教學(xué)時(shí)可設(shè)計(jì)如下題組式的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考。

[（πr）] [r]

（1）如果拼成的長(zhǎng)方形的寬是6厘米，這個(gè)圓的面積是多少？

（2）如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12.56厘米，這個(gè)圓的面積是多少？

（3）如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)多20厘米，這個(gè)圓的面積是多少？

（4）拼成的長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比是多少？

（5）如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是41.4厘米，這個(gè)圓的面積是多少？

（6）如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2.14厘米，這個(gè)圓的面積是多少？

通過(guò)解決這一組問(wèn)題，不僅能促進(jìn)他們對(duì)圓面積公式的理解，還能在解決問(wèn)題的過(guò)程中通過(guò)對(duì)圖形特征的觀察，深化對(duì)圓面積公式的理解，促進(jìn)空間觀念的形成。?