數形結合 主動建構

陳婧亭

在質數和合數的教學中，學生容易出現以下錯誤：一是不能正確迅速判斷一個數到底是質數還是合數；二是對自然數的分類標準理解模糊，易出現張冠李戴的現象。例如，有的學生會認為自然數分為質數、偶數和1。究其原因，一是小學生邏輯思維仍具有較多的具體形象性，僅憑教師告知，沒有讓學生親身經歷概念的生成過程，必然造成學生對質數與合數的理解比較膚淺。二是教師沒有及時組織學生對自然數的分類進行必要的對比辨析，導致學生對自然數的分類標準模棱兩可。因此，在質數和合數的教學中，要針對學生易犯的錯誤，根據學生的認知特點，采取數形結合的教學策略，讓學生“人人都動手，動手有收獲”，引導學生積極思考、踴躍辯論，促進學生對質數和合數的深刻理解與主動建構。

教學片段：

師：用若干個小正方形拼成一個長方形（正方形也屬于長方形），當小正方形的個數為多少時，只能拼成一個長方形？

生：我們發現當小正方形的個數為2、3、5、7、11、13時，只能拼成一個長方形。

師：請說一說拼成的長方形的長和寬。

生：長方形的寬和長分別是1和2，1和3，1和5，1和7，1和11，1和13。

師：是不是只有當正方形的個數為2、3、5、7、11、13這幾種情況時，才只能拼成一個長方形？

生：還有當正方形的個數為17、19、23時，也是只能拼成一個長方形。

師：2、3、5、7、11……這些數有著自身的特點，這種特點在同學們剛才拼擺長方形的活動中也能得到體現，有這種特點的數叫做質數。想一想——什么叫質數？

生：只能拼成一個長方形的正方形個數叫做質數。

生：我發現，這些數有一個共同的特點，它們的因數只有兩個。所以，我認為只有兩個因數的數叫做質數。

師：我們一起來檢驗，看這些數是否都有這一特點。

師生一起逐一判斷上述數字中的因數。

師：確實，這些數的因數都只有1和它本身，我們把它們叫做質數。

師：像4、6、8、9、10這樣的數叫做合數。想一想——什么叫合數？

生：我發現，這些數的因數個數不止兩個。所以，我認為至少有三個因數的數叫做合數。

生：我認為，合數與質數的主要區別是合數的因數除了1和它本身外，還有別的因數。

結合學生回答，教師板書：

一個數除了1和它本身外沒有別的因數，這樣的數叫做質數。還有別的因數，這樣的數叫做合數。

師：請大家自學書上質數、合數的定義。想一想——我們的表述與書上的意思相同嗎？

生：意思是相同的。不過，書上還說質數也叫素數。

師：同學們自己找出質數、合數的本質特征，并且用自己的語言進行概括，概括得非常好。

……

師：請你判斷下面的數，哪些是質數？哪些是合數？并說出理由。

教師出示：17、21、48。

生：17是質數。因為17的因數除了1和17本身外沒有別的因數。

生：21是合數。因為21的因數除了1和21本身外，還有別的因數3和7，所以21是合數。

生：48是合數。因為48的因數除了1和48外，還有2和24、3和16、4和12、6和8。所以，48是合數。

教師故意很慢地出示：2178141。

正當學生為這么大的數而犯愁時，師：還沒寫完哩。（接著繼續板書“5”）

生（激動地舉高手）：21781415是合數。它的因數除了1和21781415本身外，還有別的因數5。

師：對他的回答，請大家談談想法。

生：回答得很好。因為他運用了學到的含有因數5的數的特征，很快做出了正確判斷。

生：覺得他回答得還不夠完整，因為他沒有說出21781415的所有因數。

生：我認為沒有必要說出21781415的所有因數。因為判斷一個數是質數還是合數的關鍵是看它的因數除了1和它本身外，還有沒有別的因數。如果沒有，這個數是質數；如果還有，不管有幾個，這個數就是合數。

結合學生回答，教師在“沒有”“還有”的下面畫上小圓點。

師：剛才這么大的一個數，我們運用了5的倍數的特征，抓住判斷質數和合數的關鍵，很快做出了正確的判斷。對于比較小的數，相信你們能更快地做出判斷。

學生情緒激昂，等待教師出數，教師隨手寫著：1。

生：我認為1是質數。因為1的因數有1，還有它的本身，也是1。所以，1是質數。

生：我不同意，因為質數是只有兩個因數的數，而1的因數只有一個，所以我認為1不是質數。

生：書上講，一個數除了1和它本身外，沒有別的因數，這樣的數叫做質數。又沒有說必須有兩個因數，所以，1是質數。

生：書也是人編寫的，不一定都是正確的。

師：敢于懷疑書本，很有膽量！我告訴大家，1確實不是質數。你們認為，書上的話應該怎樣表述？

生：應將“一個數的因數除了1和它本身外”改成“一個數的因數除了1和它本身兩個外”。

師：有不同意見嗎？沒有的話，我們就一致通過！

師：“一個自然數不是偶數就是奇數，不是質數就是合數”這話對嗎？

……

【評析】在上述教學片段中，教師提出“用若干個小正方形拼成一個長方形，當小正方形的個數為多少時，只能拼成一個長方形”，這就將質數的本質特性巧妙地隱含在學生所要探究的問題中。學生根據自己已有的數學活動經驗，或拼擺、或畫圖、或想象，用自己的思維方式自由地進行探究，并驚奇地發現當小正方形個數為2、3、5、7、11、13時，只能拼成一個長方形。接著，教師要求學生說出所拼成長方形的長和寬，并進一步引導學生探尋這些數的共同特點。學生經過一番探究，發現這些數的因數只有1和它本身，從而揭示出質數的本質屬性，在與質數的比較中，又揭示出合數的本質屬性。在這種數與形的結合，多種感官的參與，以及自主探究活動中，學生主動建構起質數與合數的概念，自然理解透徹、印象深刻、記憶牢固。在學生初步建立質數與合數的概念后，教師讓學生運用所學概念進行判斷，進一步深化了對概念的理解。當學生抓住概念的本質，運用學過5的倍數的特征對“21781415”做出正確判斷而獲得自信和愉快體驗時，教師又拋出數字“1”，讓學生再做判斷?！?”這個數雖小，卻很特殊，立即引起學生認知心理的不平衡，學生間展開激烈的爭論，提出自己對教材的修改建議。爭論，不僅使學生加深了對質數概念的理解，更培養了學生的批判精神，使學生的數學思維及個性得到發展。最后，通過讓學生對“一個自然數不是偶數就是奇數，不是質數就是合數”進行判斷，使學生體會到——同樣是對自然數進行分類，由于分類的標準不同，分類的結果也不相同。這樣既提高了概念之間的區分程度，使數學概念更加清晰，又有機地滲透了分類的思想方法。

（作者單位：福建省上杭縣臨城中心小學 責任編輯：王彬）