從大學數學的課堂教學談邏輯思維能力的培養

王宜舉　王磊

摘要：大學數學包括《高等數學》、《線性代數》、《概率論與數理統計》三門課程，它們是高校理工科學生必修的專業課。正如錢學森所說，數學是其他學科的基礎和工具，同時在培養學生邏輯思維能力方面，有其他學科無法比擬的優勢。當然，大學數學也是學生所學課程中最難的課程之一。如何利用課堂教學化解大學數學的難度，讓學生易于接受并掌握，同時大力提高學生的邏輯思維能力具有重要的現實意義。本文根據作者若干年來的教學經驗，給出了一些利用課堂教學培養學生邏輯思維能力的具體方法，供大家借鑒，特別是對剛走向崗位的青年教師，有一定的指導作用。

關鍵詞：邏輯思維能力；概念教學；命題教學

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）06-0079-02

一、理論分析

1.基本概念。邏輯思維是指理性認識的過程，使人們運用概念判斷推理等思維形式，合乎邏輯地反映現實。這里的“合乎邏輯”的含義有以下幾點：①事物發展有其客觀規律性，即人們常說的“客觀的邏輯”。②人們在認識過程中為了正確反映現實，必須遵循運用概念、判斷進行推理的規律，即邏輯規律，包括辯證邏輯的規律（對立統一規律、質量互變規律、否定之否定規律）和形式邏輯的規律（同一律、矛盾律、排中律和充足理由律）。③正確使用邏輯思維方法。邏輯思維方法包括：比較、分析、綜合、概括、抽象、演繹、歸納等，它們是根據事實材料，正確形成概念、做出判斷和進行推理的方法。邏輯思維能力是指人們在認識過程中正確理解邏輯思維規律、熟練運用邏輯思維方法分析問題、解決問題的能力。由上述概念可以看出利用課堂教學培養邏輯思維能力，首先必須展示理性認識的過程。

2.理性認識過程。①問題。馬克思主義認識論指出，人類認識世界的目的就在于改造世界。這說明人類的認識具有明確的指向性，這種指向性在認識活動中具體表現為“問題”，它是激發人們探索自然與社會的動力，作為理性認識的完備形式，任何一門理論體系都是為著解決相應問題而產生的，因此“問題”在理性認識中處于首要地位。②概念。人們在實踐中對客觀事物的感性認識大量積累的基礎上，抓住了事物的本質、全體和內部聯系，用一定的物質外殼語詞把它標識出來，這就產生了概念。概念是反映對象本質屬性的思維形式，是思維的“細胞”，也是感性認識與理性認識的分水嶺，它標志著人們認識的尺度。作為一門理論體系，任何教學課程的研究對象都體現為基本概念。例如：微積分學的研究對象是函數概念，線性代數的研究對象是線性空間與線性變換等。③判斷、推理。判斷是展開了的概念，是對某一事物內部聯系作出肯定與否定論斷的思維形式。在數學課程中，判斷大都體現為基本概念具有的性質，因此理解掌握判斷的中心詞甚為重要。推理是從已知判斷推出新的判斷的思維形式，它能反映事物發展的必然趨勢。在數學課程中，推理反映概念具有的規律，大都表現為“定理”、“命題”等。

3.指導原則。由上述分析，在具體的實踐教學中，應遵循以下原則：①課堂內容的講授要聯系實際。一切的理論知識均來源于實際，并又應用于實際，只有把知識與實際緊密結合，才能突顯所學知識的作用與價值，才能呈現給學生一個完整的邏輯思維過程。②突出問題的核心紐帶作用。從某種意義上講，理性認識的過程就是提出問題、分析問題、解決問題的過程，可以看出其中的“問題”統領著理性認識的發展，起著邏輯思維的導向作用。③具有清晰的邏輯思維。認識的形成與發展過程此時應遵循辯證邏輯，而講授具體的判斷與推理應遵循嚴格的形式邏輯的規律。④正確運用各種邏輯思維方法。這樣更能清晰展現概念的形成、求解思路的由來，教師通過不斷課堂示范，學生自然就會在無意中模仿、嘗試，從而達到有意識培養邏輯思維能力。

二、教學實踐

課堂教學所涉及環節、內容、方法諸多，在此不再泛談，僅就提高學生的邏輯思維能力談及兩點：概念教學與命題教學。

1.概念教學。概念是反映認識對象的本質屬性的思維形式，是思維的“細胞”，人們認識的新領域、新方法、新工藝等通常都是用概念標識。在課堂教學中具體展現概念的形成過程，不但讓學生易于接受、理解、掌握概念，而且更能有益于學生邏輯思維能力的培養。概念教學的幾個環節：①背景問題。在已有認識的基礎上所進行的有目的的實踐創新活動，一定觸及到新領域、新方法、新應用、新問題，后者就是用概念表示，而前者就是產生概念的背景，這種情形針對于一些學科的基本概念大都以問題的形式出現，例如，《概率論與數理統計》中的隨機現象為基本概念，而概率密度函數就為一般概念。②概念的抽象過程。任何事物都是質和量的統一，在具體的實踐活動中，把“質”略去，把關注的“量”或“量的關系”提升出來，此過程就是抽象過程，就是產生數學概念的過程。例如，物理中物體在力作用下所作功，我們把“力”、“功”略去，只把量的關系提升出來，就形成“矢量的內積”概念。在課堂中要講清這一抽象過程必須做到：①描述具體的實踐活動；②關注怎樣的“量”；③質與量是如何相統一的；④“量”與“量的關系”的提升。③給概念下定義。概念的表述必須簡明、嚴謹，這要求講授者對概念有深刻的理解與把握，這是學生理解概念與邏輯清晰的前提。現在數學概念大都以公理化形式表述，即“若A滿足條件B，則稱A為……”④概念的表示。為了更簡明地運用概念，一般都給出概念的符號表示，在給概念下定義后，通常有“記作……”這就是概念的符號表示。為了更好地理解概念，抽象的概念大都給出其直觀表示，即教材中概念的幾何意義，如：導數、微分、定積分、偏導數、梯度的幾何意義等。⑤概念的應用。為了更加全面的把握概念以及更加深刻的理解概念，關于概念的應用練習是不可缺少的，通常表現為教師講解一些例題，學生課堂練習一些相關題目。

2.命題教學。對現實世界的任何空間形式和關系有所肯定或否定的思維形式稱為數學判斷；用數學符號或語句表達的數學判斷稱為數學命題。由于數學命題有真有假，這里所討論的情形皆為數學真命題。在實際課堂教學中，講解某一概念后，為了方便概念的適用，大都涉及兩類簡單命題：性質命題與關系命題。性質命題就是判定某一概念具有或不具有某種屬性的命題，性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成，其中主項表示性質命題中的概念，謂項表示概念在哪些方面具有的性質。性質命題的證明相對簡單，只需運用概念的定義就可得到。但在教學中需突出強調性質命題的主項與謂項。關系命題是判斷數學概念之間的關系的命題，關于關系命題的教法同性質命題，這里不再詳談，我們重點討論兩類命題教學：一是定理，二是例題、習題。

（1）定理。用邏輯推理的方法證明是正確的命題叫做定理，定理由條件和結論兩部分組成。在一理論體系中，定理往往是回答某一研究對象或概念在某些方面的問題而產生的，因此定理教學應該明確：定理回答的“問題”；研究對象或概念；問題的性質，進而探求產生問題的實際背景與需求，由此可以很自然的理解定理的條件，即定理的題設或已知。定理的證明過程就是從定理地已知條件出發，運用已學過的定義、公理、引理、性質，最后推出定理的結論。在課堂教學中重點在于對定理的分析以及證明思路的獲取，為此，首先根據定理回答的問題及條件推測定理的結論，這里就要運用從特殊到一般的抽象概括，從個體到整體的歸納，剝竹筍式的分析化歸等邏輯思維方法，其次確定定理證明的任務及入手處，特別地，入手處是對任務的定性所得到的，需要重點剖析與講解，最后證明過程的整理需要準確使用概念、符號等數學語言，嚴格遵守形式邏輯規則。

（2）例題、習題。例題在整個理論體系中上銜理論下接應用，目的在于利用范例的形式告訴大家運用理論解決實際問題的大致方法，或者在解決實際問題中應注意的關節點，或者介紹理論的諸多應用情形等。教材中例題的選取具有典型性，因此，在課堂教學中高度注意例題的講解，它是理論與應用之間的橋梁，它能縮小理論的抽象性與應用的具體性之間的距離，為化解大學數學的難度有著重要作用。習題屬于應用范疇，就是運用所學理論解決實際問題，它有利于加深理論的理解，這一環節對提高學生應用邏輯思維解決問題的能力有著極其重要意義。習題的講解大致包含以下部分：一是對該習題的問題定性，即提出一個怎樣的問題；二是把習題中的已知、求解數學化，即習題中的實際情形用概念、符號表示，由此更加明細問題；三是把問題與性質、定理相對應，由此找出一般的解法；四是具體考察習題的特殊性，把一般解法與特殊性相結合，從中找出具體解法。

教材內容呈現了人類優秀理論成果，為了保證理論的簡潔、系統、科學，教材內容的編寫安排一般采用了公理化形式，并嚴格遵循形式邏輯規律。在課堂教學中，如果教師照本宣科，就會使學生的思維僵化，因此，要想培養學生活生生的思維，大力提高學生的邏輯思維能力，在課堂教學中教師不但展現思維的成果，更要展現思維的過程，本文在如何展現思維過程方面做了初步的探討。

參考文獻：

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[2]趙韓強，曾興雯，趙樹凱.研究教學型大學教學模式探討[J].中國電子教育，2008，（1）.

作者簡介：王宜舉，教授，博士生導師，山東省日照市，曲阜師范大學管理學院。