圓錐曲線的統一性

摘 要：圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在現實生活中也存在著許許多多的圓錐曲線，它們有著非常廣泛的實際應用，因此有必要深入了解圓錐曲線各種性質.追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線、軌跡觀點、圓心運動、方程形式、曲線性質等五個方面對圓錐曲線的統一性進行了歸納.

關鍵詞：圓錐曲線；統一性；定義；性質

橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們都是可以由平面截圓錐面得到的截線，故而將這三種曲線統稱為圓錐曲線；通過直角坐標系，圓錐曲線又與二次方程對應，所以圓錐曲線又叫做二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的現實生活中也存在著許許多多的圓錐曲線，它們有著非常廣泛的實際應用，因此有必要深入了解圓錐曲線各種性質.本文將追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線、軌跡觀點、圓心運動、方程形式、曲線性質等五個方面對圓錐曲線的統一性進行歸納，希望有助于大家更全面地認識圓錐曲線.

我們來重新回顧一下圓錐曲線產生和發展的主要探索歷程：早在兩千多年前，古希臘數學家對它們已經很熟悉了，古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線，用垂直與錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線.阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”.對于圓錐曲線，他們當初的主要興趣在于用它來幫助解決古代的三大作圖問題——化圓為方、倍立方和三等分角問題.直到16世紀，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究，一是德國天文學家開普勒（Kepler，1571～1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環繞太陽運行的事實，二是意大利物理學家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線.人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式.17世紀初，在當時關于一個數學對象能從一個形狀連續地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質作了新的闡述，他發現了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓，這為圓錐曲線現代的統一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎.而當法國另外兩位數學家笛卡兒和費馬創立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法朝著解析法的方向發展，即通過建立坐標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達到抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統一.到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標系之外又建立極坐標系，并能把這兩種坐標系相互轉換.1745年，歐拉發表了《分析引論》，這是解析幾何發展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經典之作，在這部著作中，歐拉給出了現代形式下圓錐曲線的系統闡述，從一般二次方程出發，圓錐曲線的各種情形經過適當的坐標變換，總可以化為標準形式.繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發展起來，由圓錐曲線導出了許多重要的曲面諸如球面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等.

一、錐面截線的統一

現在我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線.

如果用一個不過圓錐頂點的平面去截圓錐的側面，設圓錐的半頂角為α，圓錐的軸與平面所成的角為θ；當θ= ，交線是圓；當α<θ< ，交線是橢圓；當θ=α時，交線是拋物線；當0≤θ<α時，交線叫做雙曲線（如右圖）.

如果平面與圓錐側面只交于一點（如下圖a），當θ=α時，平面與圓錐側面相切于一條母線（如下圖b）；當θ<α時，平面與圓錐側面相交于兩條母線（如下圖c）.這幾種特殊的截線叫做退縮圓錐曲線.

二、軌跡觀點的統一

從點的集合或軌跡的觀點看，到一個定點F的距離和到一條定直線L的距離之比是一個常數e的點的軌跡叫做做圓錐曲線.這個定點F叫做焦點，這條定直線L叫做準線，常數e叫做離心率.當01時，它的軌跡是雙曲線.此外，當e=0時，橢圓退化為一個點F；當e=∞時，雙曲線退化為一條直線L（如右圖）.

這一結論在天體物理方面是有具體應用的：當人造衛星的初速度等于第二宇宙速度時，衛星的軌道是拋物線；當人造衛星的初速度小于第二宇宙速度時，軌道變成橢圓；當人造衛星的初速度大于第二宇宙速度時，軌道就成了雙曲線的一支.

三、圓心運動的統一

兩條互相垂直的直線L與L1，垂足為K，定點O與動點O1在直線L1上，以O1為圓心以O1K為半徑做圓O1（如右圖）.

（1）如果動點即圓心O1在定點O的右邊，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的橢圓C1.

（2）如果動點即圓心O1從定點O右邊沿著直線L1向左移動與O重合，這時橢圓就變成了圓.

（3）如果動點即圓心O1沿著直線L1向右移動到無窮遠處，這時圓O1就是直線L，當點A在直線L上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O為焦點，以L為準線的拋物線C2.

（4）如果動點即圓心O1沿著直線L1從左邊回來，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的雙曲線C3.

（5）如果動點即圓心O1從左邊沿著直線L1向右移動到與O重合，這時雙曲線退化為兩條相交的直線.

簡而言之，橢圓有兩個焦點O、O1（假定點O1在點O右邊），若O固定，考慮O1的移動，當O1向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，O1與O重合時即為圓；當O1向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，O1到無窮遠處時即為拋物線；當O1從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當O1繼續向右移動，O1又與O重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線.我們看到了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續地變為另一個，只需考慮焦點的各種移動方式.此外也可以說拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓.

四、方程形式的統一

1.在平面直角坐標系中，圓錐曲線都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）來表示，①當B2-AC<0時，它表示橢圓.②當B2-AC=0時，它表示拋物線.③當B2-AC>0時，它表示雙曲線.代數式B2-AC值的變化超過某一界限會引起曲線類型的改變，而這些曲線在代數上的區別只在于方程系數B2-AC的正負號.

另外，圓錐曲線還可以表示為：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.這是以定直線L為y軸，并且使x軸通過焦點F，得到的圓錐曲線的軌跡方程，其中p是定點F到定直線L的距離，e是離心率.

2.在極坐標系中，圓錐曲線也有統一的方程：當01時，該方程表示雙曲線.

五、曲線性質的統一

由于圓錐曲線定義上的統一，必然會有其性質上的統一，即具有相似的性質.以下就其中的一部分作些初步的探討.

性質一：（1）橢圓與雙曲線上任一點M的兩條焦半徑MO、MO1與通過M點的切線夾相等的角度.

（2）拋物線上任一點M的焦半徑MO、MO1（過M平行于軸的射線）與拋物線在M點的切線夾相等的角度.

據此易知，圓錐曲線具有如下的光學性質.

橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線或聲波在經過橢圓周上反射后，反射都經過橢圓的另一個焦點.

雙曲線的光學性質：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點O處，光線或聲波射到雙曲線靠近O的一支上，經過反射以后，就好像從另一個焦點O1處射出來一樣.

拋物線的光學性質：從拋物線的焦點發出的光線或聲波在經拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.

顯然，由圓心運動的統一定義直接可以得出性質一的結論.下面再采用解析方法，以橢圓為例給出證明.

性質二：已知切點（x0，y0），圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切線方程統一的形式為

參考文獻：

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作者簡介：許永祥，男，出生于1970年10月，中學數學一級教師，工作單位為福建省漳浦道周中學（郵編363200）。

（作者單位 福建省漳浦道周中學）