對藝術生高中數學應用題的教學

丁愈

摘 要：高中數學課程力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用，數學應用題正切合了這一理念，在歷年高考中也必考應用題。但對藝術生來說，應用題在教學中卻是個難點，在高考中也是個失分點。分析了常見的建模類型，歸納了學生容易出現的錯誤，提出了切實有效的教學方法。

關鍵詞：藝術生；高考；應用題教學

發展學生的應用意識是新課程標準的基本理念之一。高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力，而數學應用題的教學正切合了這一理念。新課改地區的高考試題遵循《考試說明》，增強了對密切聯系生產和生活實際的應用性問題的考查力度，突出對能力的考查——重視

應用，培養用數學意識來分析問題和解決問題的能力。試題往往從實際出發，設問新穎，而解決這些問題所涉及的數學知識、數學思想和方法又都是高中教學大綱中所要求掌握的概念、公式、定理和法則等基礎知識和方法。這與發展學生的應用意識這一課程標準的基本理念是相切合的，同時也體現了數學的工具性、實用性，引發學生更全面地認識數學、學好數學。

大多數藝術生數學基礎比較差，邏輯思維能力不強，花在學習上的時間又少，造成數學的學習困難重重，畏難情緒比較大，特別是對應用題這類綜合性比較強的題，大多數學生都直接放棄應

用題。

解決這些應用問題的關鍵是能夠從題目中分析、抽象、歸納出它的數學模型。

一、常見的建模

1.函數建模

函數建模是高考考查應用題建模方法的重點，常用的函數模型有：一次函數、二次函數、三次函數、指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等。常見題目是考查建立函數關系式，進而求函數的最值。如2010年江蘇省高考第17題，涉及的知識點有基本不等式、導數等知識點；2011年江蘇省高考第17題，考查了二次函數、三次函數、導數等知識點；2012年江蘇省高考第17題考查了二次函數、基本不等式知識等。

2.數列建模

現實生活中，涉及到增長率、升降價、銀行利息等問題，常常是數列建模。如2010年湖北省高考第19題，應用到的是等比數列

模型。

3.幾何建模

這類問題主要涉及現實生活中一些常見的幾何體、常見的平面圖形。解這類題目主要運用的是解三角形、三角函數、立體幾何、解析幾何等知識。如2010年福建省高考第21題考查的是解三角形知識的應用；2010年湖南省高考第19題考查的是圓錐曲線的知識應用；2010年江蘇省高考第17題考查了三角函數知識。2010年上海市高考第20題，考查的是立體幾何知識。2013年江蘇省高考16題考查了解三角形的知識應用。

4.最優化建模

最優化問題是日常生活、生產中經常出現的問題，常常轉化為函數、基本不等式來解決。如2010年廣東省高考文科第19題，考查了線性規劃的應用。2010年四川省高考第8題，同樣是線性規劃；2009年湖北省高考第8題。

5.與橫向學科聯系的建模

如與物理、生物知識的結合。盡管應用題所考查的知識點都是比較熟悉的，建模類型也不多，但應用題的學習對藝術生來說卻困難重重。

二、學生在應用題的解題方面存在的問題

1.心理素質不過硬，對應用題有畏難情緒

應用題相對篇幅較長，數學情境比較生疏，關系復雜。加之，對藝術生來說，從小感覺應用題就比較難，對此有畏懼心理，不能靜下心來理解題目。例如，2009年江蘇省高考第19題，整個題目篇幅很長，有332個字，引入了一個全新的概念：滿意度。學生讀題難度增大，從心理上對題目產生了畏難情緒，影響了發揮。

針對這樣的情況要鼓勵學生靜下心來，認真閱讀，充分理解題意。在平時的教學中，多從簡單的題目入手，以成功體驗來增強學生的解題信心，提高心理承受能力，保持冷靜，認真對待，不輕言

放棄。

2.數學閱讀能力差，容易誤解題意

例如，下降36%，學生往往會看成下降到36%。一字之差，謬以千里。

3.缺乏生活常識

如，“復利”“利潤”“本息和”“利潤率”，而新教材中都將這些例題中所用到的常識性知識以旁白的形式呈現，為學生的學習提供方便的同時也擴大了學生的知識面。

4.數學建模能力差，歸納推理能力差

藝術生往往無法將一個實際問題轉化為數學問題。

5.實際問題轉化為數學問題后，藝術生又會出現數學基礎不扎實，計算漏洞百出的問題

例如，實際問題已列出一分段函數，對其求最值。二次函數在給定區間上的最值如何求？又成為這題的攔路虎。因此，只有不斷增強數學基礎知識的訓練與綜合能力的提升，才能為數學應用題打下基礎。

6.數學問題解出之后，往往不能回到題設的情境之中，檢驗是否符合實際

例如，某旅社有100張客床，每床每天收租費10元，客床可以全部租出，若每提高2元，出租床的數量減少10張，為了投資少而獲利最大，每床每天提高租金多少元？設應提高2x元，y=（10+2x）（100-10x）=-20（x-2.5）2+1125（x∈N*），學生就回答提高5元。這就沒有回到題中來看，定義域為x只能是正整數，所以答案為4或6元。

7.書寫不規范

解題步驟不完整，缺“設”少“答”等。

三、在教學中抓好應用題求解的四個重點環節

1.閱讀理解

一方面，讀懂題中的文字敘述，理解敘述中所反映的實際背景。在教學中，我引導學生仔細讀題，并將題目中的關鍵字、詞、句畫出來，讓學生領悟到哪些是題目的要點，弄清題中的已知事項，初步了解題目中講的是什么事情，要求的結果是什么。在讀題的基礎上，學生要能復述題目中的要點，深思題意，弄清題意，通常可以輔以畫圖、設未知數等工作。另一方面，提高閱讀理解能力貴在平時的積累。在平時的教學中多鍛煉數學閱讀能力，培養表達能力。數學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現象，讓學生養成樂意運用數學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應用

數學的意識，也可以提高學生運用數學的能力。同時引導學生多讀書，了解常識，擴大知識面，留心觀察周圍的現實事物，引導學生關心國家大事，了解社會生活，增強社會知識的積累。

2.數學建模

將實際問題轉化為數學問題，這是求解的關鍵。建模的過程就是將文字語言、符號語言、圖表語言轉化成數學表達式的過程。采用下列策略幫助學生建立數學模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件由因導果得到結論，或者運用所求結果進行逆向推導，由果索因。（2）借助常用模型直接列式，平均增長率的問題可建立指、對數或方程模型，行程、工程、濃度問題可建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發射、衛星制造問題可建立二次模型等。這就需要及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類，使學生掌握熟悉的實際原型，把待解問題通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，運用數學化歸思想，建立數學模型。

3.求解問題

轉化為常規數學問題并加以解決。運用所學的數學知識和數學方法來解決問題，這考驗到學生的數學基礎知識與基本技能的

掌握程度。要求學生掌握常見函數，如，二次函數、三次函數等最值的求法，用導數求函數最值、用基本不等式求最值也要引起足夠的重視。

4.檢驗結論

在解出數學結論后，要檢驗結論是否有實際意義，用數學結論回到生活實際中，去解決實際問題，體現數學建模的思想方法與

作用。

在解決了一個問題之后，我再回過頭去總結整個題目的思路，引導學生體會如何找到解題思路，體會問題是怎樣解決的。引導學生能不能歸納出題目的類型，進而掌握這類題目的解題通法，鼓勵學生自己總結、歸納題目類型。在此之后，要求學生做同一類型的練習，進行正向鞏固。

在數學應用中激發藝術生學習數學的興趣，強化數學應用意識，逐步培養藝術生的數學應用能力，提升數學建模能力，發展創新意識和實踐能力是符合新課改精神的，也是新教材所體現的精

髓。新課程向我們一線教師在數學應用方面提出了更高的要求，我們期望通過應用題的教與學，能為學生拓寬數學視野、進一步學好數學應用打開一扇窗戶，力爭達到新課程的要求。

參考文獻：

[1]王尚志.數學教學研究與案例.高等教育出版社，2006-12.

[2]羅強.高中數學新課程教學案例選編.江蘇教育出版社，2006-08.

（作者單位 江蘇省蘇州市第六中學）