巧用對稱法求解平衡問題

張永金

在解決物體的平衡問題時，若研究對象所受到的力具有對稱性，求解時就可把較復雜的運算轉化為較簡單的運算，或者是將復雜的圖形轉化為直觀而簡單的圖形進行求解。

例1.如圖1所示，重為G的均勻鏈條掛在等高的兩鉤上，鏈條懸掛處與水平方向成θ角，試求：

（1）鏈條兩端的張力。

（2）鏈條最低點處的張力。

解析：（1）取鏈條整體為研究對象，由于兩邊具有對稱性，兩端點的拉力大小相等，受力分析如圖2所示，

由平衡條件得豎直方向2Fsinθ=G

所以兩端點張力為F=

（2）求鏈條最低點張力時，可將鏈條一分為二，取一半研究，受力分析，如圖3所示，

由平衡條件得水平方向所受力即為鏈條最低點時的張力

點評：有形的鏈條，其不同位置的受力具有對稱性，既可取整體研究，也可取部分研究，兩種情形皆可作為質點處理。求解時利用對稱性可以簡化分析過程。

例2.兩塊相同的豎直木板將三塊完全相同的重均為G的木塊A、B、C夾持住，處于靜止狀態，如圖4所示，求B對A，B對C及板對A、C的摩擦力。

解析：以A、B、C組成的系統為研究對象，由對稱性知，板對A和板對C的摩擦力均向上為F，

則：2F=3G即F=1.5G

以A為研究對象，則F=G+FBA

即FBA=F-G=0.5G

所以，B對A的摩擦力豎直向下，大小為0.5 G，由對稱性知，B對C的摩擦力亦豎直向下，大小為0.5 G。

點評：根據問題情境可以選擇整體或個體為研究對象，但整個求解過程中系統受力的對稱性成為解決問題的捷徑。

例3.如圖5所示，長為5 m的細繩的兩端分別系于豎立在地面上相距為4 m的兩桿的頂端A、B。繩上掛一個光滑的輕質掛鉤，其下連著一個重12 N的物體。平衡時，繩中的張力T=（ ）

解析一：因為掛鉤光滑，所以AO、BO的張力必相等，根據其對稱特點，繩與水平面的夾角必相等，受力分析如圖6，設繩與水平成α角，繩中張力大小為F，再設OB長為x，OC長為y，由三角形相似可知：

解析二：作如圖7所示的示意圖，則必有OB與OD以水平線CF對稱，則OB與OD長相等，直接得到繩與水平成α角的函數關系為，然后再由平衡條件求解。

點評：應用對稱性求解時，不僅考慮力的對稱性，也要考慮其他方面的對稱性，例如運動的對稱性，結構的對稱性，運用對稱性往往可以簡化解題過程。

（作者單位 甘肅省高臺縣教體局）