轉(zhuǎn)化——初中數(shù)學(xué)的法寶之一

賀景紅

摘 要：轉(zhuǎn)化思想是指把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去，最終使問(wèn)題得到解決的一種思想方法。轉(zhuǎn)化，是解決問(wèn)題的一種最基本的思想，是初中數(shù)學(xué)的法寶之一。將生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，利用換元轉(zhuǎn)化、整體代換轉(zhuǎn)化、化歸轉(zhuǎn)化、一般至特殊轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、合同變換轉(zhuǎn)化等方法，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，對(duì)提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力有積極的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；數(shù)學(xué)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想方法，但最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想和函數(shù)的思想，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。其中，轉(zhuǎn)化思想是解決問(wèn)題的一種最基本的思想，對(duì)提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力有積極的促進(jìn)作用。學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。下面就轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉若干實(shí)例作簡(jiǎn)單歸納。

一、生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題

生疏問(wèn)題向熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化是解題中常用的方法。解題能力實(shí)際上是一種創(chuàng)造性的思維能力，而這種能力的關(guān)鍵是能否細(xì)心觀察，能否運(yùn)用過(guò)去所學(xué)的知識(shí)將生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題。因此，教師應(yīng)深刻挖掘量變因素，將教材的抽象程度利用學(xué)過(guò)的知識(shí)加工到使學(xué)生通過(guò)努力能夠接受的水平上來(lái)，減小學(xué)生接觸新內(nèi)容時(shí)的陌生感，避免學(xué)生因研究對(duì)象的變化而產(chǎn)生心理障礙，從而收到事半功倍的效果。

例1：已知兩圓內(nèi)切于T，過(guò)T點(diǎn)的直線交小圓于A，交大圓于B，求證TA：TB為定值。

分析：過(guò)T點(diǎn)的直線繞T旋轉(zhuǎn)形成無(wú)數(shù)個(gè)不同的位置，其中過(guò)T的直徑每個(gè)圓只有一條，要證TA：TB為定值，先將直線TAB過(guò)圓心，這時(shí)TA′：TB′=r：R，在過(guò)T點(diǎn)任作一條直線交小圓于A，交大圓于B，連接AA，BB′，即可把要求解的TA：TB為定值轉(zhuǎn)化為證明三角形相似或證明平行線對(duì)應(yīng)線段成比例。

二、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題

復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化是數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用最普通的思考方法。將一個(gè)難以直接解決的問(wèn)題，通過(guò)深入觀察和研究，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題迅速求解。教師通過(guò)合理設(shè)置問(wèn)題，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成幾個(gè)難度與學(xué)生的思維水平同步的小問(wèn)題，再分析說(shuō)明這幾個(gè)小問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，以局部知識(shí)的掌握為整體服務(wù)。問(wèn)題與問(wèn)題之間要有一定的梯度，以利于教學(xué)時(shí)啟發(fā)學(xué)生思維。

1.換元轉(zhuǎn)化

例2：解方程（xx-1）2-5（xx-1）+6=0

分析：此方程形式較復(fù)雜，可通過(guò)換元化為簡(jiǎn)單方程。

令xx-1=y，則y2-5y+6=0，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為會(huì)解的一元二次方程可進(jìn)一步求解。

例3：解方程x4-5x2+6=0

分析：這是一道一元高次方程，可通過(guò)換元進(jìn)行降次，轉(zhuǎn)化為會(huì)解的一元二次方程。

設(shè)x2=y，則上式變?yōu)闀?huì)解的一元二次方程y2-5y=0。

2.整體代換轉(zhuǎn)化

例4：設(shè)四位數(shù)abcd是一個(gè)完全平方數(shù)，且ab=2cd+1，求這個(gè)四位數(shù)abcd的值。

分析：設(shè)abcd=m2，則32≤m≤99，又設(shè)cd=x，則ab=2x+1，

于是100（2x+1）+x=m2，即67×3x=（m+10）（m-10），由于67是質(zhì)數(shù)，故m+10與m-10中至少有一個(gè)是67的倍數(shù)。若m+10=67k（k是正整數(shù)），因?yàn)?2≤m≤99，則m+10=67，即m=57，檢驗(yàn)知572=3249，不符合題意，舍去；若m-10=67k（k是正整數(shù)），則m-10=67k，m=77，所以abcd=772=5929。

此問(wèn)題中，我們?cè)谠O(shè)未知數(shù)的時(shí)候，采取整體代換，即把cd=x看成整體，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

3.化歸轉(zhuǎn)化

“化歸”，即把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與已熟練掌握的題目或定理聯(lián)系起來(lái)思考。化歸方法的特點(diǎn)是簡(jiǎn)捷、明了、集約化思考。

例5：如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相交于P點(diǎn)。求證：AB·AD∶CB·CD=AP∶PC.

分析：這個(gè)題難度很大，很難下手，但方法對(duì)頭就由難轉(zhuǎn)易，如果我們采取化歸的辦法清理思路就不難了。從求證中看出比例式兩邊方次不同，可能是右邊約去了因式。

我們從求證中看到AB·AD與CB·CD都是相鄰兩邊乘積，于是可聯(lián)想到很容易的一道題，即：已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為△ABC中BC邊上的高，AE為△ABC外接圓的直徑（如右圖）。求證：AB·AC=AD·AE.

這個(gè)題目是很容易證的，只要連結(jié)BE，證明△ABE∽△ADC，或連結(jié)EC，證明△ABD∽△AEC即可。這個(gè)題用語(yǔ)言敘述就是“三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊上的高之積”。用這個(gè)題的結(jié)論去證明本例可以發(fā)揮絕妙的作用。

4.一般到特殊轉(zhuǎn)化

例6：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的長(zhǎng)。

分析：直角三角形是三角形中最特殊、最簡(jiǎn)單的情形，因此，構(gòu)造Rt△解題是轉(zhuǎn)化的重要策略。如圖，過(guò)A作AD⊥BC于D，此題便迎刃而解。

5.數(shù)形轉(zhuǎn)化

運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)化，找出形中隱含的數(shù)量關(guān)系，即可轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。

例7：如圖，矩形ABCDAE=ED，若EF把矩形ABCD的面積分為1：2，則■=______

分析：學(xué)生對(duì)這樣的問(wèn)題總覺得不好下手。如果設(shè)一些參數(shù)，用方程來(lái)解，就顯得非常容易。

設(shè)BC=a，AB=b，則AE=ED=■，再設(shè)BF=x，則FC=a-x，根據(jù)梯形面積公式，得方程：■=■，解得x=■，a-x=■a，故■=■.

6.合同變換轉(zhuǎn)化

對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)稱為合同變換，在幾何中經(jīng)常出現(xiàn)。

例8：如圖，已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠BAD+∠ABC=90°，M、N分別為AB和CD的中點(diǎn)。

求證：MN=■（AB-CD）.

分析：本題求證中線段的關(guān)系較分散。從題目特點(diǎn)考慮，注意到∠BAD+∠ABC=90°，則將AD、BC向內(nèi)平移會(huì)出現(xiàn)基本圖形Rt△NEF，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明MN為Rt△NEF斜邊上的中線，又轉(zhuǎn)化為AB-CD=EF=2MN即可。

綜上所述，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中最活躍、最實(shí)用的，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。教師在平時(shí)的教學(xué)中要善于引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)上和生活中經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們要以不變應(yīng)萬(wàn)變，不斷去探索，通過(guò)不斷的把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶金瑞，霍鳳芹.淺談數(shù)學(xué)思想方法——化歸與轉(zhuǎn)化[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2007，（08）.

[2]張力瓊.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[D].西北師范大學(xué)，2007.