運用一般化的策略解題

崔香蘭

[摘 要]：一般化與特殊化是人類認識事物的兩個重要側面，也是解題的兩種基本策略，他們相輔相成，是辯證的統一.在多數場合，特殊問題簡單、直觀，容易認識，容易把握.但是，也有一些場合，特殊問題的個別特性可能會掩蓋事物的本質屬性，給解題帶來困難，而直接求解相應的一般性問題，反而來得簡便、明快、奇巧。

[關鍵詞]：特殊問題一般化 數學思想 解題方法 數學發現

一、引言

特殊問題一般化方法是數學問題解決的一種重要的數學思想方法。其特點是運用了以退為進、先森林后樹木、特殊蘊于一般的數學思想。由于特殊化問題的構成要素較簡單，不能很好地反映出問題的實質或全貌，若將其一般化，利用一般性問題蘊含著特殊問題，只要一般性問題獲得解決，則所給的特殊問題就立刻獲得解決。

通過特殊問題一般化方法解題，不但使原問題獲得解決，也使得原問題得到了進一步的推廣或引申，而且能更好地揭示原問題的內涵和外延，開闊了解題者的視野，思維獲得到了鍛煉和培養。

本文通過舉例，分類闡述這一重要的解題策略在數學解題中的運用。

二、特殊問題一般化的解題策略

1、構造數學模型策略

數學模型方法是對現實原型實質問題通過抽象、簡化的數學結構。由于數學模型方法易于認識和求解，因而是數學問題解決的重要數學思想方法之一。構造函數模型在實際生活中，有關用料最省、造價最低、利潤最大、容積（面積）最大等問題，往往可以通過分析、聯想，建立“函數模型”，轉化為求函數最值問題.

例：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

讀者可以試著做一做以下兩道題目：

1、用長為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問窗框的寬和高各是多少米時，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？

2、有一座拋物線型拱橋，在正常水位AB時，水面寬20米，水位上升3米，就達到警戒線CD，這時水面寬為10米。（1）求拋物線型拱橋的解析式。

（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2米的速度上升，從警戒線開始，在持續多少小時才能達到拱橋頂？

（3）若正常水位時，有一艘寬8米，高2.5米的小船能否安全通過這座橋？

2、化歸轉化的策略

當我們遇到的數學問題不易或不能用構造已有的數學模型解決時，可考慮轉化策略。轉化與化歸是中學數學最基本的數學思想之一，數形結合的思想體現了數與形的轉化；函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

但是轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題；將復雜的轉為簡單的問題；將一般的轉為特殊的問題；將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易于解決。常見的轉化方法有直接轉化法、換元法、數形結合法、等價轉化法、特殊化方法、構造法、坐標法。

其余乘法公式也照此給學生做換元的滲透。

在初一數學教學中經常地滲透一些換元思想，不僅可以培養學生的解題能力，而且能培養學生的換元意識，幫助學生克服學習中的困難，提高他們學習數學的興趣，這對大面積提高教學質量有一定的作用。

3、歸納演繹的策略

對所給的特殊問題，首先看清問題的實質，揭示問題一般化的普遍規律，從整體考慮，從而發現解題思路。從具體到抽象，再從一般到特殊，使問題獲得解決。這種解題思想就是歸納演繹的解題策略。

例：如果三角形兩邊不等，那么這兩邊所對的角不等，大邊所對的角較大。已知△ABC，AB>AC，求證：∠ACB>∠ABC

證明：在AB邊上截取AD=AC

∵△ADC是等腰三角形，∴∠ADC=∠ACD，又∵∠ACB>∠ACD，∴∠ACB>∠ADC

又∵∠ADC是△DBC中∠BDC的外角，∴∠ADC>∠ABC

又∵∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC，∴∠ACB>∠ABC.

這個證明過程實際上是由下面五個演繹推理組成的：

第一個推理：等腰三角形的底角相等（大前提）。

△ADC是以DC為底的等腰三角形（小前提），所以△ADC的底角∠ADC=∠ACD（結論）。

第二個推理：全量大于分量（大前提），∠ACD是∠ACB的一部分（小前提），

所以∠ACB>∠ACD（結論）。

第三個推理：，∠ACB>∠ACD也大于和∠ACD相等的角（大前提），

∠ADC=∠ACD（小前提），所以∠ACB>∠ACD（結論）

第四個推理：三角形一個外角大于和它不相鄰的內角（大前提）。

∠ADC是∠BDC的外角，∠ABC是∠ADC不相鄰的內角（小前提），

所以∠ADC>∠ABC（結論）

第五個推理：甲量大于乙量，乙量大于丙量。那么甲量大于丙量（大前提），

現在∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC（小前提），所以∠ACB>∠ABC（結論）.

從這個證明過程可以看出，它是以定理的題設出發，找出了等量公理、等腰三角形性質、外角定理等為依據，經過五個推理，其中前一個推理的結論作為后一個推理的前提，連貫進行，直到最后判明命題成立，從而揭示出命題成立的立足理由。

三、結語

“問題是數學的心臟”。問題的解決是數學知識的應用，是數學理論的一種外化，是由已知的數學事實導出待求數學事實的一種思維過程。通過數學問題解決的教學，充分揭示問題中所蘊含的數學知識和數學思維方法，培養學生解題的技能技巧，使學生的數學思想方法不斷發展和完善，提高學生解題的熱情和能力，繼而培養學生的創造意識和創造能力。

特殊問題一般化正是一種培養學生創造意識行之有效的教學好方法。教學中，如果能把特殊化與一般化的解題策略相結合，利用以退為進、進退結合的思維方式，就能使學生解題的思路更加開闊，更有利于培養學生的綜合能力，因此，教師應重視數學思想方法的數學。

參考文獻：

[1] 馮克誠主編 實用課堂教學方法大系 中學卷 數學1999年9月第一版

[2] 張同君主編 中學數學解題研究[M] 東北師范大學出版社 2002年5月第一版

[3] 張雄 李得虎 數學方法論與解題研究[M] 高等教育出版社2003年8月第一版