如何求曲線的極坐標方程及參數方程

佐春梅

摘 要：數學和哲學是有聯系的，運用哲學思想、方法論可以很快地解決數學問題。利用聯系、變化、發展的觀點，觀察、看待、解決曲線的極坐標方程及參數方程問題，并且給出五個典型例題加以說明.

關鍵詞：極坐標方程；參數方程；運動；變化

哲學的唯物辯證法告訴我們，世界上的一切事物都處在普遍聯系之中，沒有孤立存在的事物，整個世界就是一個普遍聯系的統一整體.要求我們堅持用聯系的觀點看問題，具體地分析事物之間的聯系.根據事物的固有聯系，改變事物的狀態，改變條件，創造條件，建立新的具體聯系.數學和哲學是有聯系的，運用哲學思想、方法論可以很快地解決數學問題.下面用唯物辯證法思想、方法論幫助我們分析問題、解決問題，進而簡單、快捷地求出曲線的極坐標方程及參數方程.

一、運用唯物辯證法思想、方法解決求曲線極坐標方程問題

1.一般的，求曲線極坐標方程步驟是：

①建立適當的極坐標系；

②在曲線上任取一點M（ρ，θ）；

③根據曲線上點所滿足的條件寫出等式；

④用極坐標ρ，θ表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標方程；

⑤證明所得的方程是曲線的極坐標方程.

在具體求曲線極坐標過程中，步驟③：根據曲線上點所滿足的條件寫出ρ，θ的等式是個難點.這就需要運用哲學上的唯物辯證法思想，利用聯系發展的觀點，觀察、看待、解決這個問題.

2.為求曲線上任一點M（ρ，θ）滿足的關系式，我們細分三個步驟：

①運用聯系的觀點：聯系點M的極坐標ρ，θ的幾何特征，即ρ為點M到極點O的距離，θ為OM與極徑OA所成的角；

②運用運動變化的觀點觀察問題：為求曲線上任一點M（ρ，θ）滿足的關系式，讓點M在曲線上運動起來.然后觀察點M在運動的過程中哪些量是變化的，如，ρ，θ變化；哪些量是不變化的，其中不變的量實際上是曲線的固有特征；

③再運用聯系發展的觀點解決問題：將②中變化的量與不變化的量建立新的具體聯系，進而得到ρ，θ等式.

3.下面看幾個具體例子：

例1.如圖1，在極坐標系下半徑為a的圓的圓心坐標為C（a，0）（a>0），求此圓的極坐標方程.

分析：（ⅰ）取M（ρ，θ）是圓上除O、A以外的任意一點（聯系點M的極坐標ρ，θ的幾何特征）

二、運用唯物辯證法思想、方法解決求曲線參數方程問題

一般的，求曲線參數方程步驟是：

①建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點M的坐標（x，y）；

②寫出適合條件的點M的集合；

③用坐標表示集合，列出方程；

④化簡方程為最簡形式；

⑤證明所得的方程是曲線的參數方程.

求曲線參數方程的難點是“引入參數”.運用我們前面提到的哲學思想世界上的一切事物都處在普遍聯系之中，沒有孤立存在的事物，整個世界就是一個普遍聯系的統一整體.用變化、發展、聯系的角度看待問題，“引入參數”這個難點很容易突破.

例4.如圖4所示，設圓O的半徑是r，點M從初始位置M0出發，按逆時針方向在圓O上作勻速圓周運動，求圓的參數方程.

分析：（ⅰ）設M（x，y）是圓上任意一點

（ⅱ）讓點M在圓上動起來，觀察，當點M在直線上運動時，哪些量是變化的？哪些量是不變化的？（如圖）

點M坐標，∠MOX=θ是變化的；OM=r是不變的.

（ⅲ）建立變化量與不變量間的關系.即

求解過程略.

例5.已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點A在y軸的非負半軸上移動，頂點B在x軸的非負半軸上移動，求頂點C在第一象限內的軌跡的參數方程.

分析：（運用運動變化的觀點觀察問題）

如圖，（ⅰ）設C（x，y）為軌跡上任一點.

（ⅱ）觀察：當點A，B在y軸和x軸非負軸上運動的過程中，哪些量是變化的？哪些量是不變化的？

變化的量：∠ABO的大小，∠CBD的大小，C點的坐標

不變化的量：線段AB，BC的長度，∠ABC的大小

（ⅲ）建立變化量與不變量間關系.過點C作x軸垂線即可.

因此，方程（1）為頂點C軌跡的參數方程.

通過上面五個例題展示，我們可以體會到，運用聯系、變化、發展的觀點分析問題，任何求曲線軌跡方程的問題都可以迎刃而解，而且思路變得簡單，統一；運用馬克思主義哲學指導數學學習和數學教學，就可以使我們在高中數學學習中避免或減少失誤，少走彎路；以馬克思主義哲學思想為武器，用馬克思主義哲學的觀點去分析、解剖數學內容和數學的教學過程，用馬克思主義哲學的思想去統帥數學的思想和方法，才能透徹明了地看待數學問題的思路，清晰、辯證地講解數學演繹的邏輯過程，才能掌握好數學的思想和精神.

參考文獻：

賈慶軍.世紀金榜：高中新課程全程學習方略：數學·選修.陜西出版集團未來出版社，2011.

（作者單位 寧夏回族自治區銀川市育才中學）