淺談構造向量解代數問題

張勝利

摘 要：代數中的好多求值域問題、不等式證明問題利用代數的知識解決很困難、很麻煩，但如果能把它和向量的知識結合起來，那解決起來就很簡單了，通過一些例子介紹向量在代數中的應用。

關鍵詞：向量；值域；最值；不等式

向量是近代數學中最重要和最基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具，有著極其豐富的實際應用背景.向量有大小和方向，大小反映了“數”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集數形于一身的數學概念，是數學中數形結合思想的體現，掌握好向量的知識，有意識地運用向量工具去解決相關問題，不僅能優化解題思路，而且能培養學生思維的發散性和創新精神.下面通過例題談一談在代數中的應用.

一、運用向量中的不等式

【例1】求函數y=+的最小值？

分析：所給函數為根式的和，因此需要將根號下的式子配方，將根式轉化為向量的模，利用

【例2】求函數y=-的值域.

分析：所給函數為根式的差的形式，因此需將根號下的式子配方，將根式轉化為向量的模，利用

二、利用向量數量積的運算性質

【例3】求函數y=2+的最大值.

分析：所給的函數式可以看成兩個數積的和的形式，因此，可聯想兩個向量數量積的坐標運算構造向量，利用

【例4】已知a+b+c=1，求式子++的最大值.

分析：本題是三個數的和的形式，因此可以構造空間向量，利用向量的數量積

三、利用向量中的不等關系還可證明不等式，關鍵是把不等號兩邊的式子能和向量的運算形式聯系起來，再運用向量的性質進行放縮使不等式得證

【例5】已知a，b，c，d∈R，求證：ac+bd≤·。

分析：本題如果用代數的知識不好做，但如果能和向量聯系起來，構造兩個向量=（a，b），=（c，d），利用性質

一般的，涉及兩數積的和的形式可利用公式

求其最值.也可利用它們證明一些不等式.必須說明的是，在運用構造法時也有其局限性，不是對每一類函數都可以運用該種方法，運用比較多的是在含有根號中求最值的情況.另外，像例1，在將根號里轉化為向量的模的過程中，由于是利用

，所以必須使得+的坐標與變量x無關.如若在結果中還出現變量，則肯定是錯誤的.同時，還應注意等號成立的條件.

（作者單位 陜西省西安市臨潼區華清中學）