對一道高考題的探索與研究

趙琳

摘 要：2013年陜西高考數學第21題思考和探索，一題多解，思維多變.

關鍵詞：導數綜合應用；壓軸題；構造函數；數形結合；反函數；導數幾何意義

2013年陜西高考數學題的特點是：平凡中考能力，傳統中見新奇.題目整體難度適中，突出了對主體知識的考查，回歸課本基礎知識的意圖更加明顯，同時也有一些亮點，靈活性增強，新題型、改編題增多，選修題命題角度有所轉變.

認真做完整套試題，最后一道題（第21題）讓我感受頗深，考查的知識點主要是導數的綜合運用.這道題基礎與能力并重，第一問較簡單，考查了兩個比較基礎的知識：反函數和導數的幾何意義.第二問較難，重在考查學生研究非基本初等函數性質的能力和數形結合的思想.第三問屬于“拔尖”題型，題目要求比較兩個式子的大小，需要構造函數，并且研究其性質，要求比較高.整個題的確不負“壓軸”的重任，要求學生基礎知識要扎實，運算要過關，思維要靈活，應變能力要強.題目雖難，但三問之間并無聯系，可以獨立考查學生每部分知識，同時也給了學生得分的機會.做完這道題，經過仔細的思考，從不同入手點去挖掘這道題，我總結出一些不同的解題方法，展示出來，讓大家體會這道壓軸題的強大之處，欣賞數學思維的神奇和美妙之處.

題目：21.（本小題滿分14分）

點評：此方法較簡單，通過除法，轉化成兩個函數，其中函數y=的性質可以借助導數工具，容易研究，再通過數形結合的方法比較直觀，易于接受.

點評：此法先求出特殊情況：兩函數相切時的m值.再數形結合，改變m值，使拋物線開口發生變化得出結論.此法易于理解，但比較巧妙，可能很多學生思維達不到.

（Ⅲ）解法一：可以證明>，

由圖可知，S梯形ABCD>S曲邊梯形ABCD

點評：解法一先得出結論再用分析法證明，解法二用到了求差法比較大小，兩種方法立意不同，但最后都無一例外地用到了構造函數，研究其性質，再回歸原題，構造函數始終是難點，思維不夠靈活的學生做不下來.解法三運算量很小，并且簡單直觀，但還是難在思維上，必須想到題中兩個代數式的幾何意義，數形結合，還需要適當地變形.所以第三問總體難度很大，思維要求高，運算也要非常熟練.

通過對第21題的分析，我覺得在以后的數學高考備考過程中對待難題，不能輕言放棄，應該對學生思維的靈活度和技巧的運用加大訓練，同時還要強化學生的運算能力，盡量讓學生在最后一道題上多拿分.

（作者單位 陜西省西安中學）