課本一道例題的探究

曾堯鋒

摘 要：通過課本圓錐曲線的例題結合歷年高考題談斜率的一些性質，探求高考試題的聯系，認真研究高考試題，從而強化課本的作用，發掘其真正內涵，探索出一般性的結論.

關鍵詞：課本例題；高考；斜率性質

課本是教學之本，考題之源.近幾年的高考命題堅持貫徹高考試題“源于課本”的命題原則，一直都很注重強化課本的作用.其中許多題目都能在課本上找到影子，是課本上題目的變形和轉化，因此課本典型例題、習題值得師生關注與思考.

人教版教材選修2-1有這樣一道例題（第41頁例3）：設點A，B的坐標分別為，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

我們知道點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，該題可變形為：設點A，B是橢圓+=1長軸的端點，點M在橢圓上，求直線AM，BM的斜率之積.在求斜率之積的過程中發現可以將其拓展到一般的橢圓.

探究一

推廣更一般的結論：

定理一：有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統稱為有心圓錐曲線）+=1上任一點與任一直徑兩端點分別連線，其斜率之積為常數-.

例.（2012年湖北高考）設A是單位圓上x2+y2=1的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0，且m≠1）。當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）標準答案利用例一的結論可簡寫為：

本題第一問源于教材選修2-1第41頁例2的背景，考查了軌跡的求法，又體現了圓與橢圓的聯系，緊扣教材；同時又考查了分類討論的思想，延續了2011年湖北解析幾何題的風格.第二問突顯幾何味，利用斜率之間的關系及點差法極大的簡化運算.

由此可以看到，2012年湖北理科高考解析幾何題有如下特點：

（1）突出貼近教材，彰顯數學文化.本題取材于數學選修2-1第41頁例2和例3的背景等，同時試題的表達方式與語言敘述盡可能與教材保持統一.這種做法可以為中學數學教學實施素質教育創造寬松的環境，為高考復習提供“依綱靠本”的導向.

（2）與斜率有關的定值問題是解析幾何的“幾何味”體現之一，也是高考命題熱點，且常考常新.

探究二

圓的很多優美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線中，如圓的“垂徑定理”的逆定理：圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.類比推廣到有心圓錐曲線.

將上述性質的條件作改變，仍然可以得到與有關的性質.

通過對一道課本例題的探究，我們深深體會到：在近幾年的高考試題中，對課本例題和歷年高考試題進行變式改造，重新成為高考試題的例子不勝枚舉，因此我們要切實做到重視課本，精讀教材，但僅此還不夠，有些問題要在數學課本的基礎上有所變化、有所提高.從這一點講，變式探究符合廣大師生提高考試成績的心理，同時，變式探究也符合新課程倡導研究性學習的要求.

參考文獻：

邵賢虎.高考圓錐曲線試題中的恒定問題賞析.中學數學月刊，2010（10）.

（作者單位 湖北省羅田縣第一中學）