“一題多解”中要注重方法的橫向比較

萬繼方

高中數學靈活多變，方法多樣，在平時的例（習）題教學中，常常會碰到一題多解.本來一題多解是培養學生思維靈活性、發散性的重要工具；是提高學生解題能力的重要手段.但如果運用不當，也會造成學生方法混亂、負擔加重等不良后果.現結合自己的教學實踐，談談教學中加強方法橫向比較的重要性.

一、通過方法的橫向比較，訓練學生思維的批判性

“批判是創新的基石.”有比較就有批判，因此通過方法的橫向比較，可以培養學生的批判性思維，深化對各方法的認識，從而提高學生的解題能力，甚至獲得創新的解法.

上述兩種方法是求線面角的基本方法，解法1稱為定義法，有三個步驟：一作二證三求，作是關鍵，也是難點，一般如果可以作出線面角，就能比較容易求出此線面角的大小.解法2稱為向量法，必須可以建系，求出相關點的坐標.如果可以建系和求出相關點的坐標，后面的過程就程序化了.

我們必須用批判的視角去看待兩種方法，各有優劣，各有限制.

二、通過方法的橫向比較，訓練學生思維的嚴謹性、科學性，避免方法混亂

在教學實踐里，教師常常有這種感受，本來教師教的方法越多，學生解決問題的手段應該多了，但相反學生解題能力卻更差了.究其原因，是因為方法多了后，造成學生思維和方法上混亂.因此教師在“一題多解”教學中一定要加強方法的橫向比較，讓學生明白每一種方法的優劣、使用限制，訓練學生思維的嚴謹性、科學性，能夠根據不同題目，靈活地選擇合適的方法.

這三種方法各有優劣.利用線面垂直的判斷定理證垂直，邏輯推理嚴密優美，但有時有一定的技巧.利用向量法證垂直，過程程序化了，沒有思維量，有時有一定的計算量.利用坐標法證垂直，前提條件是可以建立空間直角坐標系，一旦可以建系，整個過程也就程序化了.由于高考中證垂直一般是立體幾何大題的第一問，難度不大，一般利用線面垂直的判斷定理就可以證明了.如果感覺證明有困難，馬上放棄，再選擇向量法或坐標法.

有了這種橫向的比較，不僅培養了學生的批判性思維，也深化了對各種方法的認識.

三、通過方法的橫向比較，優化解題過程

數學是所有學科中最讓學生感到時間不夠的學科.原因很多，其中一個重要的原因是學生不能找到最佳解題方法，浪費了寶貴的時間.因此，教師一定要注重方法的橫向比較，優化解題過程，讓學生使用最佳的解題方法，爭取到寶貴的時間.

就本題而言，解法1更優.這兩種方法是求圓的方程的基本方法.待定系數法，步驟程序化，沒有思維量，只是有一定的計算量.幾何性質法，充分利用圓的一些性質，求出圓心的坐標及半徑.如果不能及時利用幾何性質求出圓心坐標，就使用待定系數法.唯有明白這兩種方法的優劣，才能因題而異，找到最佳的解題方法.

“一題多解”中加強方法的橫向比較的上述三個原因是相輔相成的，無法切割的統一體.

（作者單位 湖北省監利縣第一中學）