看！學生多聰明

蔡世陽

在九年級下冊第27章第三節《用推理的方法研究四邊形》中，例舉了有關平行四邊形判定的各類方法。在課后作業中，筆者布置了一道題目：“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明。”布置這道作業題的背景是有關舉反例的題目是近幾年廈門市中考的熱點。

本題可以用特殊的三角形進行舉例說明：

①畫△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；

②在BA上取BE=AC；

③以E為圓心，EB為半徑，作弧，交AB于點D；

④連結DE。

在四邊形AEDC中，易證∠A=∠EDC，DE=AC，但四邊形AEDC并非平行四邊形。

點評：本例用了特殊的三角形，具體的角度為學生所常見的，在具體操作中，以三角形為基礎，所構建的四邊形非平行四邊形是易見的，操作過程并不困難。

引申與回味：本方法中限定的特殊角度，可以一般化，只需有∠A=2∠B，對∠C只需大于60°即可。

在2005～2006年市質檢中，曾出過如下題目：

在△ABC的邊AB和BC上，分別找點P和Q，使PQ=AC，∠PQC=∠A。

在當中的作答情況中，本題的得分率是全卷最低的一題，說明了學生在“舉反例”這一類型的題目里思維容量是極大的，也是學生難以突破的一類題目。

以下將通過學生的幾種解答方法，對本題“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明。”做出解答：

方法一：

①畫等腰三角形AEB，使AE=AB，如圖1；

②在EB上取一點C（C不是EB中點），連結AC，如圖2；

③以AC的垂直平分線為對稱軸，作點E的對稱點D，連結AD，如圖3、4；

四邊形ABCD即為所舉反例。

由對稱性可有：AE=CD，∠ADC=∠AEB，又∵AE=AB，∠AEB=∠B

∴CD=AB，∠ADC=∠B。

滿足條件一組對邊相等，一組對角相等，四邊形ABCD并非平行四邊形。

點評：本例中，利用等腰三角形固有的等邊與等角，利用對稱的形式確保邊與角的不變性。順利完成反例的列舉，讓人不由耳目一新。

引申與回味：①點C若為中點，則本解中四邊形ABCD為平行四邊形。

②對于對稱邊可表述為翻轉△AEC，使點A、C位置互換，同樣可以達到舉例的效果。

③若等腰三角形的底角太小，則四邊形ABCD可能作為凹四邊形，只需改變等腰三角形的底角大小即可。

方法二：

①作鈍角△ACE和其外接圓O；如圖5；

②作AD//CE，CD//AE，相交于點D；如圖6；

③以直徑AO為對稱軸，作AE的對稱弦AB；如圖7；

④連結BC，四邊形ABCD為所舉反例；如圖8。

四邊形AECD為平行四邊形。

故有AE=CD，則CD=AB，∠D=∠E=∠B，滿足條件。

點評：本例在已建立的平行四邊形的基礎上，利用圖保證邊與角的不變，同時也運用了圖的對稱性，足以使人眼界大開。

以上的幾種作答方法，是學生在考試中給出的，說明學生的思維形式并不僅僅局限于課堂所學、教師所教，教師應當在日常教學中，善于挖掘學生提供的優質素材，鼓勵學生有自己獨立的思考方式，千萬不能低估了我們的學生，看，我們的學生多聰明！

（作者單位 福建省廈門市海滄區東孚學校）