初中數學動點問題案例

李小兵

一、教材分析

1.教材教學的背景

初中的教材中并沒有對動點問題進行獨立的章節介紹，更多的是要依靠學生根據自身已有的知識及對知識的靈活應用的基礎上，對相關問題進行思考解決。

2.教材中的地位與作用

動點問題所涉及的知識是相當廣泛的，對于不同的知識點都可以衍生出不同類型的動點問題。它對學生的知識水平也是有相對較高的要求，同時對學生的思維有著較高的要求，它體現了學生綜合應用知識能力的水平。

3.學情分析

學生在數學相關知識的方面有了一定的積累，也具備了初步的分析問題和解決問題的能力。盡管他們的思維較為活躍，但常常因為綜合能力與經驗不足，常常出現“無從入手，思維混亂”的情況。

4.教學重難點

教學重點：（1）有條理地尋找符合要求的點。（2）分析動點問題中的線段的數量關系。

教學難點：讓學生學會有條理地進行推理，將已有知識應用于實際問題中。

二、目標分析

1.探索動點問題中，如何有條理地尋找出符合要求的點，并能合理地進行解釋；掌握解決動點問題的竅門，找出解決問題的突破口，分析條件信息，從而解決此類問題。

2.通過對符合要求的點的尋找，讓學生在“動”中找“靜”，對運動的點進行探索，培養學生觀察、比較、分析、綜合、抽象、推理等邏輯思維能力和逆向思維的能力。

三、教學過程分析

1.創設情境，提出問題

師：動點問題是會動的點，這個說法可以，但點是到處跑的嗎？舉個例子，我們在天空中看到了一架飛機從遠方飛了過來，數秒鐘后，你能不能再從天空中把它找出來？為什么？

生：可以啊，飛機的飛行路線我們大致是可以判斷出來的，所以數秒后，當然可以很快找出它來了。

設計意圖：通過學生身邊的實例引出學生對于動點問題的興趣，使學生在動點問題中有更直觀的認識，并意識到自己也能行的。

2.師生互動探究新知

如下圖所示，已知，平面直角坐標系上有A、B兩點，A點的坐標為（3，0），B點的坐標為（0，4），連結AB，請在坐標軸上找出一個點C，使得△ABC為等腰三角形。符合要求的點有幾個？為什么？

解答要點：由水平較低的學生先進行作答，讓其有了參與的興趣，同時也刺激中等以上學生，要努力去思考。最后通過教師的分析，是否以AB為腰，A、B、C三點哪個是頂點，從該點的左右或上下來尋找，讓學生在學習過程中體會到什么是分析的合理性、條理性，并由此形成一個良好的分析習慣。

設計意圖：分類討論問題的方法是在動點問題中必不可少的思維模式，只有真正把這個思維方式掌握了，才能真正地、更好地解決動點問題。

3.例題分析

例題：四邊形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，點P從A出發，以1 cm/s速度向D運動，點Q從C同時出發，以3 cm/s速度向B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t（s）。（如下圖所示）

分別用含t的式子表示下列線段

AP=_____ PD=_____

BQ=_____ CQ=_____

（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形。

（2）當t為何值時，四邊形PQCD是等腰梯形。

（3）當t為何值時，PQ=CD。

（4）當t為何值時，QP=QD。

設計意圖：此題為常見的雙動點問題，在解題過程中，常要涉及相關線段關于時間的代數式。讓學生明白，在處理此類問題時，應該將其轉化為點的運動路線之間的某種相等關系，從而轉化為方程而得解。

4.課堂小結

在師生互動中讓學生回顧：

（1）如何尋找具有某種特征的點？

（2）應該如何去解決動點問題？

5.課后作業

如下圖所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16。動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q同時從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動。設運動的時間為t（s）。

（1）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？

（2）分別求出出當t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ？

四、教法分析

本節采用分組討論的方法進行教學，目的在于鼓勵更多學生參與其中，給他們獨立思考的空間。通過簡單的題型讓大部分學生在討論的過程中，參與進來，并大膽表達出他們自己的想法，對他們多肯定多鼓勵，注重師生間的交流，激發學生學習數學的興趣，增強解題的信心。

五、評價分析

1.課堂教學應該符合學生的認知規律

本節的內容從簡單的知識點導入，讓學生在少量的知識基礎上便可以進行分析思考，從而不產生抵觸的情緒。再由淺入深，將思考的方式、方法應用于稍有難度的題目中，從而解決問題。

2.課堂教學要把教師的主導作用與學生的主體地位有機地結合起來

在教學過程中，教師積極引導學生主動參與，充分發揮學生的主體作用，激發學生的求知欲，從而提高課堂教學效率。

（作者單位 福建省南安市延平中學）